К задаче 3. Модели теории игр. Игра с природой.

Швейная фабрика выпускает детские платья и костюмы, сбыт которых за­висит от состояния погоды.

Затраты фабрики в течение апреля – мая на единицу продукции составили: платья – 7 денежных единиц, костюмы – 27, а цена реализации равняется соот­ветственно 17 и 48. По данным наблюдений за прошлое время, фабрика может реализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 640 костюмов и 1980 платьев, а при прохладной погоде - 570 платьев и 980 костюмов.

Задача заключается в максимизации средней величины дохода от реализа­ции выпущенной продукции, учитывая капризы погоды. Фабрика располагает в этих ситуациях двумя следующими стратегиями:

в расчете на теплую погоду (стратегия А);

в расчете на холодную погоду (стратегия В).

Решение.

1. Если предприятие примет стратегию А, т.е. продукция, соответствующая теплой погоде (стратегия природы – С), будет полностью реализована, то доход фабрики в этой ситуации составит:

640 * (48–27) + 1980 * (17–7) = 640 * 21 + 1980 * 10 = 13440 + 19800 = 33240

2. Если продажа осуществляется в условиях прохладной погоды (стратегия природы – Д), то костюмы будут проданы полностью, а платья только в ко­личестве 570 шт. Доход предприятия в данном случае составит:

640 * (48–27) + 570 * (17–7) – (1980-570) * 7 = 640 * 21 + 570 * 10 – 1410 * 7 = 13440 + 5700 - 9870 = 9270

3. Аналогично определим доход предприятия в случае применения им стра­те­гии В. Для условий теплой погоды доход фабрики определиться в сумме:

640 * (48–27) + 570 * (17–7) – (980-640) * 27 = 640 * 21 + 570 * 10 – 340 * 27 = 13440 + 5700 - 9180 = 9960

4. Применение той же стратегии, но в условиях холодной погоды приведут к другим результатам:

980 * (48–27) + 570 * (17–7) = 980 * 21 + 570 * 10 = 20580 + 5700 = 26280

5. Рассматривая предприятие (Р₁) и природу (Р₂) в качестве двух игроков, получим платежную матрицу следующего вида:

Игроки		Р2 (природа)
Р1 (предприятие)	Стратегии	С	Д	min по стр.
	А	33240	9270	9270
	В	9960	26280	9960
	max по столб.	33240	26280

4. Из платежной матрицы видно, что игрок Р₁ (предприятие) никогда не полу­чит дохода меньше 9270. Но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) предприятия будет составлять 33240 или 26280. Если игрок Р₁ будет постоянно применять стратегию А, а игрок Р₂ – стратегию Д, то выигрыш снизится до 9270. Если игрок Р₁ будет постоянно применять стратегию В, а игрок Р₂ – стратегию С, то выигрыш снизится до 9960. Отсюда вывод, что наибольший доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию В. Такая стра­тегия называется смешанной, а ее элементы (А и В) – чистыми стратегиями.

4. Оптимизация смешанной стратегии позволяет игроку Р₁ всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии игрока Р₂.

Обозначим частоту применения игроком Р₁ стратегии А через Х, тогда частота применения им стратегии В будет равна (1 – Х).

Если игрок Р₁ применяет оптимальную смешанную стратегию, то и при стратегии С (теплая погода), и при стратегии Д (холодная погода) игрока Р₂ он должен получить одинаковый средний доход:

33240 х + 9270 * (1 – х) = 9960 х + 26280 * (1 – х)

33240 х – 9270 х – 9960 х + 26280 х = 26280 – 9270

40290 х = 17010

х = 17010 / 40290 х = 0,4222 1 – х = 1 – 0,4222 = 0,5778.

Действительно, при стратегии С игрока Р₂ средний доход предприятия со­ставит:

33240 * 0,4222 + 9270 * 0,5778 = 19390;

при стратегии Д игрока Р₂ средний доход предприятия составит:

9960 * 0,4222 + 26280 * 0,5778 = 19390.

4. Следовательно, игрок Р₁, применяя чистые стратегии А и В будет иметь оп­тимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 19390, т.е. средний платеж, равный 19390 единицам.

Средний платеж, который получается при реализации оптимальной страте­гии, называется ценой игры.

4. В заключение определим, какое количество платьев и костюмов предпри­ятие должно выпускать для максимизации своего дохода:

(640 костюмов + 1980 платьев) * 0,4222 + (980 костюмов + 570 платьев) * 0,5778 = 836 костюмов + 1165 платьев.

Ответ.

Оптимальная стратегия предприятия означает выпуск 836 костюмов и 1165 платьев; тогда при любой погоде оно получит средний доход в сумме 19390 единиц.