1.2. Числові множини

Множини, елементами яких є числа, називаються числовими. Прикладами числових множин є:

Множина натуральних чисел .

Множина цілих чисел .

Множина раціональних чисел .

Множина ірраціональних чисел І – це числа вигляду ( ).

Множина дійсних чисел R – це множина, яка є об’єднанням раціональних та ірраціональних множин, тобто .

Між множинами і має місце співвідношення .

Означення 1. Нехай . Числову множину А називають обмеженою зверху (знизу), якщо є таке число , що для всіх елементів виконується нерівність ( ). Якщо множина обмежена зверху і знизу, то її називають обмеженою. Найменша (найбільша) з усіх верхніх (нижніх) меж є точною верхньою (нижньою) межею множини; це позначається як й читається супремум А (інфінум А).

1.3. Числові проміжки. Окіл точки

Нехай a і b – дійсні числа, причому . Підмножину , елементи якої задовольняють:

, називають відрізком і позначають ;

, називають інтервалом і позначають ;

або , називають напіввідрізками або напівінтервалами і відповідно позначають або .

Поряд із цим розглядають нескінчені інтервали або напівінтервали

, , , а також нескінчені напіввідрізки , .

Означення 2. Будь-який інтервал, який містить точку a, називається околом точки a. Інтервал , тобто множина точок х таких, що , де , називається -околом точки a (рис. 5.2).

Рис. 5.2

§ 2. Функція

2.1. Сталі і змінні величини

Величина – одне з основних математичних понять. Прикладами величин можуть бути – площа земельної ділянки, маса тварини, врожайність сільськогосподарських культур, собівартість продукції, відсоток жиру в молоці, кількість тварин у стаді і т.д. Кожну з величин можна виміряти або обчислити, в результаті чого отримаємо число, що називається числовим значенням величини.

У різних областях фізики, економіки, агрономії, зоотехніки або інших областях знань при вивченні тих чи інших явищ ми зустрічаємося як із величинами, які не змінюють свого числового значення (кількість місяців у році), так і з величинами, які можуть приймати те чи інше числове значення (ціна товару, обсяг закупок, попит на певний товар, маса тварини в період відгодовування, висота стебла гороху в період вегетації тощо).

Означення 1. Величина, числове значення якої при розглядуваних умовах не змінюється, називається постійною.

Означення 2. Величина, числове значення якої при розглядуваних умовах може змінюватись, називається змінною.

2.2. Поняття функції

Область визначення та множина значень функції

До поняття функції приводить вивчення різноманітних явищ в навколишньому середовищі. Наприклад:

1. кожному значенню радіуса кола відповідає його довжина і площа круга;

2. кожному значенню віку тварини відповідає його маса;

3. кожному моменту часу на даній місцевості відповідає відповідна температура повітря;

4. кожному показнику рентабельності відповідає відповідна величина прибутку.

У всіх цих прикладах спільним є те, що кожному числовому значенню однієї величини ставиться у відповідність визначене числове значення іншої величини. Ьбоэ

..

Множина всіх значень змінної х утворює деяку числову множину значень змінної Х.

Означення 3. Якщо кожному елементу х з множини Х ( ) ставиться у відповідність певний елемент y з множини Y ( ), то говорять, що на множині Х задано функцію .

Множина Х називається областю визначення (або існування) функції і позначається , а множина Y – областю значень функції і позначається .

При цьому х називається незалежною змінною (або аргументом), y ― залежною змінною, а буква f означає закон відповідності (замість букви f можуть бути використані інші літери: F, u, v, Ф, ).

Якщо спеціально не обумовлено, то під областю визначення функції розуміють область допустимих значень незалежної змінної х, при яких функція має зміст.

Наприклад, областю визначення функції є півінтервал , оскільки ; якщо ж змінна х позначає час, то природно розглядати додаткову умову х  0 і тоді областю визначення функції буде відрізок X=[0; 10].

Якщо , то у приймає дійсні значення лише при   , тобто та .

Таким чином, областю визначення цієї функції є об’єднання двох півінтервалів .

Означення 4. Множиною значень функції називається сукупність усіх значень у, коли х змінюється в області визначення функції.

Так, для функції множиною значень є півінтервал .

Означення 5. Функція називається однозначною, якщо кожному значенню х відповідає одне значення y. Функцію y називають багатозначною, якщо кожному значенню х відповідає декілька значень y.

Наприклад, функція є однозначною, а функція є багатозначною (двозначною).