2.5. Основні елементарні функції та їх графіки

Основними елементарними функціями називаються такі функції:

1. Степенева функція . Приклади графіків степеневих функцій, що відповідають різним показникам степеня , наведено на рис. 5.4.

Рис. 5.4

2. Показникова функція (рис. 5.5).

Рис. 5.5 Рис. 5.6

3. Логарифмічна функція (рис. 5.6).

4

. Тригонометричні функції , , , (рис. 5.7, а-г).

5. О бернені тригонометричні функції , , , (рис. 5.8, а-г).

Рис. 5.8

За допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення та ділення) з основних елементарних функцій можна утворити нові функції. Наприклад, .

2.6. Складені, явно і неявно задані функції

Означення 9. Нехай функція визначена на множині , а функція визначена на множині , причому для кожного значення відповідне значення належить множині . Тоді на множині визначена функція , яку називають складеною функцією від .

Наприклад, функція є складена. Вона утворюється як суперпозиція , , та , . Проте функція визначена тільки для тих значень , для яких , тобто або .

Означення 10. Якщо функція задана рівнянням , розв’язаним відносно залежної змінної , то кажуть, що функція задана у явній формі або явно.

Означення 11. Якщо функція задана рівнянням , тобто рівнянням не розв’язаним відносно залежної змінної , то кажуть, що функція задана у неявній формі або неявно.

Це рівняння задає функцію лише тоді, коли множина впорядкованих пар чисел , які є розв’язками рівняння, така, що будь-якому числу у цій множині відповідає не більше однієї пари з першим елементом . Так, рівняння , задає функцію, а рівняння не задає, оскільки значенню відповідають дві пари чисел: і .

2.7. Монотонні, обернені й обмежені функції

Означення 12. Функція називається неспадною (незростаючою) на проміжку , якщо для будь-яких значень таких, що справедлива нерівність (відповідно, ).

Означення 13. Функція називається зростаючою (спадною) на проміжку , якщо для будь-яких значень таких, що справедлива нерівність (відповідно, ).

Зростаючі, незростаючі, спадні й неспадні функції на множині називаються монотонними на цій множині, а зростаючі й спадні ― строго монотонними.

Наприклад, функція , не є монотонною на всій числовій осі, але має два проміжки монотонності: і ; на першому з них функція спадає, а на другому ― зростає.

Нехай задана функція з областю визначення і областю значень .

Означення 14. Якщо кожному значенню відповідає єдине значення , для якого , то кажуть, що існує функція ― обернена до функції .

Позначають обернену функцію .

Щоб знайти функцію , обернену до функції , достатньо розв’язати рівняння відносно змінної (якщо це можливо).

Наприклад, функції та ― взаємно обернені.

Можна довести, що для будь-якої строго монотонної функції існує обернена.

Рис. 5.9

Зауважимо, що функція і обернена до неї функція задаються однією і тією ж кривою, тобто графіки їх співпадають. Якщо ж додатково домовитись, щоб, як звичайно, незалежну змінну позначати через , а залежну ― через , то замість функції матимемо функцію . Це означає, що точка кривої стане точкою кривої . Але точки і є симетричними відносно прямої (рис. 5.9). Тому графіки взаємно обернених функцій і симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів.

Означення 15. Функція називається обмеженою зверху (знизу) на множині , якщо існує таке число , що ( ) для всіх .

Означення 16. Функція називається обмеженою на множині , якщо існує таке число , що для всіх .

Наприклад, функція на інтервалі обмежена знизу прямою , але не обмежена зверху; функція обмежена зверху прямою , але не обмежена знизу; функція ― обмежена функція, оскільки ; функція ― необмежена.