§ 4. Неперервність функції

Поняття неперервної функції, так само як і поняття границі, є одним із основних понять математичного аналізу.

4.1. Неперервність функції в точці і на відрізку

Означення 1. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в цій точці, якщо:

1. існує при та в деякому околі цієї точки

2. існує скінчена границя ;

3. незалежно від способу прямування до , тобто

.

Виходячи з означення неперервності функції і границі числової послідовності, можемо записати .

Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу , то її називають неперервною в інтервалі .

Означення 3. Якщо функція визначена при і , то кажуть, що в точці неперервна справа.

Означення 4. Якщо функція визначена при і , то кажуть, що в точці неперервна зліва.

Означення 5. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу та неперервна на кінцях інтервалу, відповідно зліва і справа, то функція називається неперервною на відрізку .

Сформулюємо ще одне означення неперервності.

Нехай задано два значення аргументу і або і , або і .

Приростом аргументу називається різниця вигляду

Рис. 5.17

або , або .

При маємо , а при – .

О

значення 6. Різницю значень функцій , яка викликана зміною аргументу, називають приростом функції і позначають (рис. 5.17), тобто

Означення 7. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції: .

У дійсності остання рівність означає, що

або .

Приклад 5.12. Знайти інтервал неперервності функції .

Будемо користуватися означенням 6. Візьмемо довільну точку і позначимо через приріст аргументу х.

Тоді функція одержить приріст

.

Знаходимо . Отже, функція є неперервною на всій дійсній осі.

Приклад 5.13. Урожайність цукрових буряків (т/га) в залежності від додавання кількості мінеральних добрив (ц/га) виражається функцією , . Знайти на скільки збільшиться урожайність цукрових буряків, якщо кількість добрив збільшити з 4 до 6 ц/га?

Розв’язування. Маємо початкове значення ; нове значення ; знаходимо значення функції в цих точках: ; . Тоді приріст урожайності збільшиться на

(т).

4.2. Розрив функції. Класифікація точок розриву

Означення 8. Якщо при деякому не виконується хоча б одна із умов означення 1 неперервної функції, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точка називається точкою розриву функції.

Означення 9. Якщо функція не визначена в точці (рис. 5.18, а) або визначена, але має місце співвідношення (рис. 5.18, б), то розрив в точці називається усувним.

В цьому випадку функцію можна довизначити або змінити її значення в точці так, щоб виконувалась рівність

.

б)

а)x

Рис. 5.18

Означення 10. Якщо функція в точці має скінчені однобічні границі, але вони не рівні між собою, тобто то кажуть, що функція має в точці неусувний розрив першого роду, а різницю називають стрибком функції.

Означення 11. Якщо хоча б одна з однобічних границь не існує (рис. 5.19, а), або дорівнює нескінченності (рис. 5.19, б), то кажуть, що в точці функція має неусувний розрив другого роду.

б)

Рис. 5.19

Приклад 5.14. Дослідити функцію на неперервність в точці . У випадку розривності встановити характер розриву.

Розв’язування. Користуючись означенням неперервності функції в точці: , знайдемо лівосторонню, правосторонню границі та значення функції в точці :

;

;

Значення функції в точці : – не існує.

Отже, за означенням 9 дана функція в точці має усувний розрив, а точка є точкою розриву.