3.4. Границя функції на нескінченності. Нескінченно велика функція

Вище ми розглянули границю функції в скінченій точці . Досліджуючи функції, визначені на нескінченних проміжках, часто доводиться досліджувати поведінку цих функцій при як завгодно великих за модулем значеннях аргументу х, тобто при .

Означення 4. Число b називається границею функції при , що прямує до нескінченності , якщо для будь-якого , знайдеться таке додатне число , що для всіх таких, що , справедлива нерівність .

Дамо означення границі функції за допомогою логічних символів:

Рис. 5.12

.

Ця границя записується так: .

Зокрема, якщо відомо, що існують границі лише коли змінна прямує до чи , то границі записуються у вигляді: , .

Геометрична інтерпретація границі на нескінченності (рис. 5.12).

Нерівність еквівалентна подвійній нерівності .

Вище розглядались випадки, коли функція мала границю деяке скінчене число. Тепер розглянемо випадок, коли границею функції є нескінченність.

Рис. 5.13 Рис. 5.14 Рис. 5.15

Означення 5. Функція при називається нескінченно великою (має границю ), якщо вона визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки і для довільного числа існує таке число , що для всіх х, які задовольняють нерівності , виконується нерівність . Вживаються позначення: або при .

Якщо прямує до нескінченності при і при цьому набуває лише додатних значень (рис. 5.13) або лише від’ємних значень (рис. 5.14), то записують:

або .

Функцію , задану на всій числовій прямій, називають нескінченно великою при і пишуть , якщо для довільного числа існує таке число , що для всіх х, які задовольняють нерівності , виконується нерівність (рис. 5.15).

Зокрема, функція є нескінченно великою при , якщо

, , , .

3.5. Нескінченно малі величини та їх властивості

Означення 6. Функція називається нескінченно малою величиною при або при , якщо .

Так, наприклад, нехай . Тоді . Отже, функція в околі точки є нескінченно малою.

Аналогічно, функція є нескінченно малою при , оскільки .

Розглянемо основні властивості нескінченно малих величин:

1⁰. Якщо функція є нескінченно мала величина при або при , то функція є нескінченно велика при або при . І навпаки, якщо функція f(x) нескінченно велика при ( ), то функція є нескінченно малою при .

Наприклад, є нескінченно малою величиною при , а функція є нескінченно великою при .

2⁰. Для того, що число b було границею функції при , необхідно і достатньо, щоб різниця була нескінченно малою величиною, тобто

, де .

3⁰. Сума (різниця) двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

4⁰. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

5⁰. Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, що має границю відмінну від нуля, є нескінченно малою величиною.

3.6. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих величин

Нехай і – нескінченно малі величини при . Тоді якщо:

а) , то нескінченно мала вищого порядку, ніж

б) , то і нескінченно малі одного порядку малості;

в) , то і є еквівалентними нескінченно малими величинами.

Аналогічні порівняння мають місце і для нескінченно великих величин.

Знаходження границі відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин називають розкриттям невизначеності їх відношення.

3.7. Основні теореми про границі функції

У наведених раніше прикладах ми бачили, що знаходження границі функції на основі означення границі досить громіздке. Наведемо теореми, які значно полегшують знаходження границі функції.

Теорема 1 (про границю суми, різниці, добутку і частки). Якщо кожна із функцій та має скінчену границю при або при , то при ( ), існують також границі функцій , , (остання за умови, що ) і справедливі формули:

1) ,

2) ,

3) .

Доведемо, для прикладу, справедливість формули 1).

Нехай , , тоді за властивістю 2⁰ (п. 4.3) можна записати , , де , .

Звідси маємо .

За властивістю 3⁰ (п. 4.3) вираз у квадратних дужках є величиною нескінченно малою. Тоді, застосувавши до одержаного виразу ще раз властивість 2⁰ нескінченно малих, дістанемо відповідну формулу.

Наслідки. Якщо існує, то виконуються рівності:

1. , де С – стала;

2. , n – натуральне число.

Теорема 2 (Гур’єва). Якщо і , то .

Приклад 5.5. Знайти границю функції у будь-якій точці , де знаменник не дорівнює нулю.

Розв’язування. Згідно теореми 1 та наслідків до неї, маємо:

,

,

.

Зокрема, при , .

Приклад 5.6. Функція відповідає неперервному росту популяції бактерій від початкового розміру до граничного розміру. Знайдіть граничний розмір популяції.

Розв’язування. Знаходимо границю функції

.