5.5. Запасы устойчивости

В процессе работы системы ее параметры (коэффициенты передачи и постоянные времени) из-за изменений внешних условий, колебаний напряжений источников энергии и других причин отличаются от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления при проектировании следует обеспечить определенные запасы устойчивости системы, которые характеризуют близость амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы к точке с координатами (-1, j0).

Запасы устойчивости определяют на двух частотах: частоте среза _с и критической частоте _кр. На частоте среза АЧХ разомкнутой системы равна единице, на критической частоте ФЧХ принимает значение, равное -.

Различают запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной h (рис.5.12,а), на которую должен отличаться модуль АФЧХ разомкнутой системы от единицы на частоте, при которой фаза равняется -180⁰, т.е.

. (5.14)

а) б)

Рис. 5.12. АФЧХ разомкнутой системы

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом  (рис.5.12,б), на который должна отличаться фаза АФЧХ разомкнутой системы от -180⁰ на частоте, при которой модуль равняется единице, т.е.

. (5.15)

В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 620 дб, что составляет 210 в линейном масштабе, а запас по фазе  3060⁰.

Чтобы спроектировать систему с заданными запасами устойчивости по модулю h_з и фазе _з, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы (рис.5.13).

Рис. 5.13. Запретная область для АФЧХ разомкнутой системы

5.6. Оценка устойчивости по лчх

Построение амплитудно-фазовых частотных характеристик разомкнутых систем связано с громоздкими вычислениями, поэтому целесообразно оценивать их устойчивость по логарифмическим частотным характеристикам. Для этого необходимо построить ЛЧХ разомкнутой системы (рис.5.14). На рис.5.14 условно показано четыре варианта возможного прохождения ЛФХ.

В том случае, когда АФЧХ не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с координатами (-1, j0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие _с _кр. То есть замкнутая система будет абсолютно устойчивой, если ЛАХ разомкнутой системы принимает отрицательные значения раньше, чем ЛФХ достигнет значения фазы -180⁰ (кривая 4 на рис.5.14).

Если ЛАХ разомкнутой системы принимает отрицательные значения позже, чем ЛФХ достигнет значения фазы -180⁰ (кривая 1 на рис.5.14), то замкнутая система неустойчивая.

Если ЛАХ разомкнутой системы принимает значение амплитуды 0 дб на одной частоте, что и ЛФХ достигнет значения фазы -180⁰ (кривая 2 на рис.5.14), то это соответствует колебательной границе устойчивости.

В условно устойчивых системах (кривая 3 на рис.5.14) для оценки устойчивости следует в диапазоне частот, где ЛАХ больше нуля, подсчитать число переходов ЛФХ через прямую -180⁰. Если число положительных (сверху вниз) переходов через эту прямую равняется числу отрицательных (снизу вверх), то система в замкнутом состоянии устойчива.

Рис. 5.14. ЛЧХ разомкнутой системы:

1 - система неустойчива;

2 - система нейтральная;

3 - система условно устойчивая;

4 - система абсолютно устойчивая

По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе  отсчитывается по ЛФХ на частоте среза _с, а запас по амплитуде L_h соответствует значению ЛАХ на критической частоте _кр, взятому с обратным знаком (кривая 4 на рис.5.14).

Если _с_кр, то система находится на границе устойчивости.

Граничное значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы k_гр определяется из выражения

20 lg k_гр  20 lg k  L_h, (5.16)

где k - общий коэффициент передачи разомкнутой системы.

В заключение дадим некоторые рекомендации, которые следуют из практики проектирования систем. Во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равным -20дб/дек. При наклоне характеристики, равном -40дб/дек, трудно обеспечить необходимый запас устойчивости по фазе. При наклоне характеристики, равном 0 дб/дек, получают излишне большие запасы устойчивости по фазе, система становится передемпфированной с длительным переходным процессом. Во-вторых, запас устойчивости по фазе в системе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы на частоте среза имеет наклон -20дб/дек. Чем больше этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.