1.6. Частотные характеристики импульсных систем

Частотные характеристики импульсных систем определяются аналогично обыкновенным линейным системам.

Выражения для частотных характеристик импульсных систем получаются из их передаточных функций путем замены оператора z на e^jT. Так как частота  входит в показатель степени числа e, то частотные характеристики являются периодическими функциями частоты, период изменения которых равен T. Следовательно, нельзя различить составляющие, частоты которых кратны частоте квантования импульсного элемента ₀ = 2/Т.

Таким образом, частотная передаточная функция разомкнутой импульсной системы имеет вид:

. (1.77)

Функция W(e^jT,) представляет собой комплексный спектр дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы W(z,) и полностью характеризует частотные свойства разомкнутой системы, т.е. позволяет вычислить установившуюся реакцию системы на решетчатое гармоническое воздействие g[nT] = g_m sin[nT] произвольной частоты .

Как и для обыкновенных линейных систем, рассматривают амплитудную, фазовую, вещественную и мнимую частотную характеристики:

A() = mod W(e^jT,);

() = arg W(e^jT,);

U() = Re W(e^jT,);

V() = Im W(e^jT,).

Свойства частотных характеристик импульсных систем [13].

1. Кроме зависимости от частоты  характеристики зависят от относительного времени . Графически это выражается серией кривых для различных значений . Обычно достаточно одной характеристики при  = 0.

2. В соответствии с периодичностью частотной передаточной функции амплитудно-фазовая частотная характеристика W(e^jT) полностью определяется своими значениями в интервале  Т     Т.

3. Так как вещественная частотная характеристика является четной функцией, а мнимая - нечетной, то достаточно рассматривать интервал частот 0     Т.

4. В крайних точках интервала 0     Т амплитудно-фазовая частотная характеристика принимает вещественные значения.

5. При уменьшении периода дискретности T, т.е. при увеличении частоты квантования ₀ = 2/Т, частотные характеристики импульсных систем приближаются к частотным характеристикам непрерывных систем. При этом частотный интервал 0     Т растягивается на всю ось  при T  0.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой импульсной системы W(e^jT) строится по точкам в интервале частот 0     Т.

Частотные характеристики импульсных систем, как следует из (1.77), описываются трансцендентными выражениями. Их определение связано со сложными расчетами, поэтому на практике применяются частотные характеристики относительно абсолютной псевдочастоты . Переход к псевдочастоте основан на переходе от z-преобразования к w-преобразованию с помощью подстановки

(1.78)

c последующей заменой комплексной переменной w на абсолютную псевдочастоту

w = jT/2. (1.79)

При этом реальная частота  и псевдочастота  связаны соотношением

(1.80)

Удобство псевдочастоты заключается в том, что, как следует из (1.80), на частотах где выполняется условие T < 2, она приближенно равна угловой частоте, т.е.   . Нетрудно убедиться, что при изменении частоты от  Т до + Т псевдочастота принимает значение  до .

Для перехода от дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы W(z) к частотной характеристике W(j) следует сделать замену

, (1.81)

то есть

(1.82)

Полученное уравнение может быть использовано для построения логарифмических частотных характеристик.

Приближенный способ построения ЛЧХ импульсных систем [2]. Для удобства логарифмические частотные характеристики строятся отдельно для областей низких и высоких частот. Границей, разделяющей частотную область на низкочастотную и высокочастотную, служит частота среза _с в предположении, что

(1.83)

где Т - период дискретности.