2.5. Методы фазового пространства

Методы фазового пространства относятся к наиболее ранним точным аналитическим методам теории нелинейных систем. К ним относится метод фазовой плоскости и метод точечных отображений или преобразований [1].

Фазовым пространством называется пространство, по осям координат которого отложены переменные, характеризующие состояние динамической системы. Если движение системы описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, то состояние этой системы в любой момент времени можно характеризовать некоторой точкой n-мерного фазового пространства, по осям которого отложены одна из координат системы и (n-1) ее производных. Точка, характеризующая состояние системы, называется изображающей точкой.

При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве некоторую кривую, называемую фазовой траекторией. Каждому определенному переходному процессу в фазовом пространстве соответствует определенная фазовая траектория. Начальное положение изображающей точки определяется начальными условиями. В установившемся равновесном состоянии системы все производные рассматриваемой переменной равны нулю; соответствующие этому точки фазового пространства находятся в покое и называются особыми точками. Совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных отклонений называется фазовым портретом системы.

Имея фазовый портрет системы, определяют по нему особые точки и траектории, исследуют устойчивость системы и оценивают качество процесса управления.

Метод фазовой плоскости используется для исследования систем второго порядка и заключается в построении фазовых портретов на плоскости. Для этого из уравнений состояния исключается время и определяются уравнения фазовых кривых. Задача становится достаточно простой, если рассматривается система с кусочно-линейной характеристикой нелинейного элемента. В этом случае в разных областях фазовой плоскости система описывается линейными уравнениями, в соответствии с которыми строятся фазовые траектории, которые в дальнейшем “сшиваются” по линиям переключения, определяемым видом нелинейной характеристики.

При исследовании нелинейных систем высокого порядка их аппроксимируют системами второго порядка с эквивалентным запаздыванием.

Для изображения процессов на фазовой плоскости нелинейное уравнение, описывающее систему, заменяют эквивалентными уравнениями первого порядка вида

(2.39)

где x, y - координата системы и ее первая производная;

f(x, y) - нелинейная функция.

Разделив первое из уравнений (2.39) на второе, получим дифференциальное уравнение, из которого исключено время t:

. (2.40)

Решение данного уравнения

y = F(x) (2.41)

определяет уравнение фазовой траектории, которая графически изображается на фазовой плоскости (x, y). Каждой совокупности начальных условий (x₀, y₀) соответствует свое решение и своя фазовая траектория. Семейство фазовых траекторий характеризует все возможные виды переходных процессов в данной системе управления при любых начальных условиях и образует ее фазовый портрет.

Основные свойства фазовых траекторий вытекают из выражения (2.40):

1) если f(x, y) определена и непрерывна в некоторой области и имеет непрерывные частные производные по своим аргументам, то через всякую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек, проходит единственная фазовая траектория. Это означает, что фазовые траектории не пересекаются между собой;

2) так как при y>0 производная dx/dt>0 и x только возрастает, то в верхней фазовой полуплоскости при возрастании времени t изображающая точка движется слева направо. Соответственно в нижней полуплоскости движение происходит справа налево. Направление движения на траекториях показывают стрелками;

3) в точках, где y=0, f(x, y)0 (неособых точках на оси абсцисс), фазовые траектории пересекают ось под прямым углом.

В тех случаях, когда решение уравнения (2.40) аналитическими методами затруднительно или невыполнимо, фазовые траектории можно построить приблизительным графическим методом изоклин [2, 5, 10].

Изоклины представляют собой геометрическое место всех точек фазовой плоскости, для которых наклон фазовой траектории равен постоянному значению с_i, то есть dy/dx=c_i . Тогда вместо (2.40) можно написать уравнение

из которого получается уравнение изоклины

y = (x, c_i ).

Задавая различные значения с_i наклона касательных к фазовым траекториям, пересекающим эти изоклины, строят семейство изоклин, которые используются для построения фазовых траекторий (рис. 2.14). Фазовая траектория в точке пересечения с изоклиной имеет угол наклона arctg с_i . В качестве примера на рис. 2.14 на изоклинах отмечены наклоны касательных к пересекающим их траекториям направляющими стрелками и построена фазовая траектория, исходящая из точки А.

Рис. 2.14. Построение фазовой траектории методом изоклин

Рассмотрим фазовые траектории линейной системы второго порядка, переходный процесс в которой описывается уравнением

.

Введя обозначение для скорости изменения регулируемой величины y = dx/dt, получим эквивалентные уравнения первого порядка

откуда, исключив время t, находим дифференциальное уравнение для определения фазовых траекторий

Решение y = F(x) этого уравнения определяет уравнения фазовых траекторий на фазовой плоскости (x, y). Возможные виды фазовых портретов системы, соответствующие корням характеристического уравнения p² + a₁p + a₂ = 0, приведены в таблице.

Т а б л и ц а