1.9. Точность и коррекция импульсных систем

Точность импульсных систем. Для импульсных систем, как и для непрерывных, введены определения статической ошибки, астатизма, коэффициентов ошибок, ошибки при гармоническом воздействии, а также средней квадратической ошибки [13].

Установившиеся ошибки. Точность работы импульсных систем в установившемся режиме оценивается по величине установившейся ошибки при различных типовых входных воздействиях, наиболее характерных для исследуемой системы.

В замкнутой импульсной системе (рис. 1.10) ошибка x, задающее воздействие g и возмущающее воздействие f связаны, как следует из выражений (1.73) и (1.76), следующей зависимостью относительно z-изображений

X(z,) = X_g(z,) + X_f(z,) = (1.105)

Выражение (1.105) содержит z-изображения двух составляющих ошибки: X_g(z,) - от задающего и X_f(z,) - от возмущающего воздействий.

Установившаяся ошибка импульсной системы определяется по предельному значению решетчатой функции (1.37):

(1.106)

где x_g(,) - установившаяся ошибка от задающего воздействия;

x_f(,) - установившаяся ошибка от возмущающего воздействия.

В большинстве случаев ограничиваются рассмотрением ошибки в дискретные моменты времени t = nT. Однако, надо иметь в виду, что в импульсных системах могут возникать малые колебания внутри периода дискретности в установившемся режиме.

Выражение для установившейся ошибки (1.106) при  = 0 будет

(1.107)

Установившиеся ошибки замкнутой импульсной системы от задающего воздействия находятся при f = 0.

При g(t) = g₀ 1(t) установившаяся ошибка определяется как

и называется статической ошибкой или ошибкой системы по положению.

При g(t) = g₁t установившаяся ошибка называется ошибкой системы от скорости и определяется как

Если , то получаем ошибку системы от ускорения

Из последних двух выражений следует, что установившаяся ошибка от задающего воздействия импульсной системы не только прямо пропорциональна величине задающего воздействия, но и периоду дискретности.

Импульсные системы классифицируются в соответствии с числом полюсов дискретной передаточной функции разомкнутой системы W(z) при z = 1. Если дискретная передаточная функция импульсной разомкнутой системы

,

а W₁(z) не содержит полюсов при z = 1, то при r = 0 система называется статической, при r = 1 - астатической первого порядка и т.д. В астатических системах W(1) .

Для того чтобы импульсная система имела нулевую установившуюся ошибку от задающего воздействия, необходимо, чтобы степень астатизма r системы превышала степень полинома k входного воздействия, то есть

x_g() = 0, если k < r ;

если k = r ;

x_g() = , если k > r .

Коэффициенты ошибок. Если задающее воздействие g(t) имеет произвольный вид, предельное значение ошибки вычисляется по формуле

(1.108)

где c₀, c₁, c₂, ... - коэффициенты ошибок по положению, скорости, ускорению и т.д.

Коэффициенты ошибок находят по дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы по ошибке

для i = 0, 1, 2, ..., k. (1.109)

Число коэффициентов находится в соответствии с наибольшей степенью полинома входного воздействия.

В астатических системах несколько первых коэффициентов ошибок равны нулю: c₀ = c₁ = ... = c_r-1 = 0, где r - степень астатизма.

Ошибки импульсных систем при гармоническом воздействии. Задающее синусоидальное воздействие g(t) = g_msin(t) произвольной частоты  преобразуется на входе в решетчатое гармоническое воздействие g[nT] = g_m sin[nT].

При этом установившаяся ошибка в линейной замкнутой импульсной системе будет

x[nT] = x_m sin[nT+], (1.110)

где x_m = Ф_xg(e^jT)g_m , () = arg Ф_xg(e^jT).

Как установлено в разделе 1.6, в полосе пропускания системы частотные характеристики импульсной системы практически совпадают с частотными характеристиками ее непрерывной части, поэтому для определения ошибки импульсной системы при гармоническом воздействии можно пользоваться методикой для непрерывных систем.

Статистическая точность импульсных систем исследуется аналогично непрерывным системам. При прохождении случайного сигнала через импульсную систему ее выходная координата и ошибка воспроизведения представляют собой тоже случайные процессы.

Качество работы импульсной системы при стационарных случайных воздействиях оценивается средними значениями квадрата выходной переменной

(1.111)

и квадрата ошибки

, (1.112)

где Ф(e^jT) и Ф_xg(e^jT) - частотные передаточные функции замкнутой импульсной системы;

- спектральная плотность решетчатого случайного процесса на входе системы.

Коррекция импульсных систем. Введение в систему корректирующих устройств необходимо, чтобы в результате этого система удовлетворяла заданным требованиям по точности и по качеству процесса управления, в том числе переходных процессов [13].

Исходя из требований составляются желаемые характеристики импульсной системы. Чтобы их реально получить, в систему вводятся корректирующие устройства. Для коррекции импульсных систем имеется большее разнообразие технических средств, чем у непрерывных систем, так как кроме непрерывных корректирующих устройств можно вводить импульсные и цифровые. Кроме того, путем коррекции импульсных систем возможно достижение конечной длительности переходных процессов.

Непрерывная коррекция. В случае непрерывной коррекции изменяют характеристики непрерывной части импульсной системы путем введения либо последовательных или параллельных корректирующих устройств, либо местной отрицательной или положительной обратной связи, в результате чего формируется передаточная функция скорректированной системы.

При расчете непрерывных корректирующих цепей целесообразно перейти от желаемой характеристики импульсной системы к желаемой характеристике ее непрерывной части. После нахождения желаемых характеристик непрерывной части задача синтеза решается так же, как она решалась для обыкновенных линейных систем автоматического управления [5, 15].

Импульсная коррекция осуществляется включением в контур системы импульсного фильтра, который преобразует входной сигнал x в последовательность импульсов u [13]. Импульсы на выходе фильтра образуются путем амплитудно-импульсной модуляции входного воздействия с необходимыми для коррекции системы преобразованиями

(1.113)

где w_k[n] - импульсная функция непрерывной части импульсного фильтра.

Отсюда передаточная функция импульсного фильтра определяется как

W_k(z) = Z{w_k[n]}. (1.114)

Далее по передаточной функции (1.114) из таблиц находятся импульсные корректирующие цепи [5].

Наиболее просто импульсные корректирующие устройства реализуются с помощью импульсных RC-цепей [15]. Различают три структуры импульсных RC-цепей: последовательную, с обратной связью и с каскадным соединением импульсных цепей первых двух структур.

Цифровые корректирующие фильтры реализуются с помощью цифрового вычислителя [3, 4]. В этом случае входной сигнал фильтра x преобразуется в аналого-цифровом преобразователе, и далее решение разностного уравнения на цифровом вычислителе u выводится в непрерывную часть импульсной системы через цифро-аналоговый преобразователь.

В настоящее время широкое распространение получили цифровые системы, в которых функцию вычислительного устройства выполняют микропроцессоры и компьютеры.

Синтез цифровых систем сводится к выбору цифрового корректирующего фильтра, последовательное включение которого с непрерывной частью системы, обычно включающей в себя объект управления, регулирующий орган, исполнительный механизм, усилитель мощности и датчик, позволяет получить систему с желаемыми характеристиками. Часто в качестве таких характеристик используют аналоговые эквиваленты [9]: импульсные функции, переходные функции и частотные характеристики, что обосновано, как отмечалось выше, при достаточно высокой тактовой частоте работы цифрового вычислителя и большой разрядности преобразователей.

Рассмотрим синтез цифровой системы, импульсная функция разомкнутой цепи которой должна соответствовать импульсной функции аналогового эквивалента, т.е. w_ц[n] = w_a(t)_t=nT.

Передаточная функция разомкнутой цепи аналогового эквивалента определяется как изображение по Лапласу, т.е.

W_а(s) = L[w_а(t)].

На основании выражения (1.64) дискретная передаточная функция цифрового корректирующего устройства может быть получена следующим образом

{ }, (1.115)

где W_НЧ(s) - передаточная функция непрерывной части цифровой системы.

Цифровая система, спроектированная таким образом, совпадает по своим свойствам с аналоговым эквивалентом только в смысле равенства дискретных значений импульсных функций, т.е. при задающем воздействии в виде -функций. При других входных воздействиях совпадение дискретных значений выходной величины в цифровой системе и аналоговом эквиваленте не гарантируется.

Синтез цифровых систем, который гарантирует совпадение переходных процессов в проектируемой системе и ее аналоговом эквиваленте, производится аналогичным образом, учитывая что

W_а(s) = sL[h_а(t)],

где h_а(t) - переходная функция аналогового эквивалента.

В цифровых системах, дискретная передаточная функция разомкнутой цепи которых

(1.116)

переходный процесс заканчивается за конечный промежуток времени, равный mT; в последующие дискретные моменты времени значения h[n] не изменяются и остаются равными h[m].

Если нули и полюса передаточной функции непрерывной части цифровой системы на плоскости комплексного переменного z расположены внутри круга единичного радиуса, то можно спроектировать систему, в которой длительность переходного процесса равняется одному периоду дискретности T.

При синтезе цифровых систем в частотной области желаемая дискретная передаточная функция проектируемой системы определяется частотными характеристиками аналогового эквивалента. В частности, частотный метод синтеза позволяет найти передаточную функцию разомкнутой цепи аналогового эквивалента W_а(s). Далее, как и в предыдущих случаях, по выражению (1.115) вычисляется дискретная передаточная функция цифрового корректирующего устройства.

После определения передаточных функций корректирующих устройств следующим этапом синтеза цифровой системы является их техническая реализация. Для этого используются следующие методы [9]:

1) метод программирования, применяемый в микропроцессорных системах и системах с компьютерами. Реализация корректирующего устройства сводится к составлению программы по его разностному уравнению;

2) метод, базирующийся на использовании цифровых фильтров, реализуемых на элементах цифровой техники по алгоритму, определяемому разностным уравнением корректирующего устройства.