1.8. Переходные процессы в импульсных системах

Переходный процесс в импульсных системах определяется с помощью обратного z-преобразования, ряда Лорана, решения разностного уравнения, частотных методов, основанных на использовании вещественной или мнимой частотных характеристик замкнутой системы [9, 15, 17, 18].

Для расчета дискрет переходного процесса можно найти обратное z-преобразование изображения выходной величины системы y[n,] = Z_^1{Y(z,)}. При этом следует воспользоваться формулой обращения (1.41), которая устанавливает, что дискретные значения переходного процесса

(1.101)

где z_i - полюсы выражения Y(z,); i = 1, 2, ..., k.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле

а в полюсе кратности r

Дискретные значения переходного процесса могут быть найдены также путем разложения изображения выходной величины Y(z,) в ряд Лорана по степеням z^1

Y(z,) = Y₀ + Y₁ z^1 + Y₂ z^2 + Y₃ z^3 + ... . (1.102)

Коэффициенты этого ряда определяют значения выходной величины замкнутой импульсной системы в дискретные моменты времени t = (n+)T. Так как изображение Y(z,) представляет собой отношение двух полиномов, то коэффициенты ряда Y₀, Y₁, Y₂, ... могут быть получены делением полинома числителя на полином знаменателя. При малых периодах дискретности ряд сходится медленно и объем вычислительной работы значителен.

Пример. Определить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии на выходе импульсной системы, передаточная функция которой имеет следующий вид:

.

Р е ш е н и е. Z-изображение входного воздействия G(z)=z/(z1).

Следовательно, Y(z) = Ф(z)G(z) =

= 0.64z^-1+1.25z^-2+1.42z^-3+1.34z^-4+1.2z^-5+1.11z^-6+1.08z^-7+... .

Полученные коэффициенты сведены в табл. 1.3, на основании которой на рис. 1.17 построена кривая переходного процесса.

Т а б л и ц а 1. 3

Переходный процесс

Время t=nT	Выходная величина y[nT]
0 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T и т.д.	0 0.64 1.25 1.42 1.34 1.20 1.11 1.08 ...

Рис. 1.17. График переходного процесса

Переходный процесс в импульсной системе может быть получен в результате решения разностного уравнения системы относительно дискретных значений входной g[nT] и выходной y[nT] координаты. Разностное уравнение определяется на основании дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы Ф(z) и имеет следующий вид (1.42)

a₀y[n]+a₁y[n1]+...+a_my[nm]=b₀g[n]+b₁g[n1]+...+b_lg[nl], (1.103)

при m  l и y[n]  0, f[n]  0 для всех n < 0.

Решение его представляет собой рекуррентную формулу:

; n=0, 1, 2, ... (1.104)

для нулевых начальных условий y[n]  0 и g[n]  0 при n < 0.

Формула (1.104) используется и для расчета переходных процессов в непрерывных системах после дискретизации их дифференциальных уравнений.