3.3. Применение метода Ньютона

В работах [21, 24, 43, 59] изложена методика реализации в рамках единого алгоритма известные методы уравнивания: наименьших квадратов, наименьших модулей, равномерных (чебышевских) приближений и промежуточные между ними. Однако, если в работе [21] используются в обозначениях веса результатов изме­рений, но не указано какие именно веса брать в способах отлич­ных от метода наименьших квадратов, то в работе [59] рассмот­рен ограниченный случай равноточных измерений.

Ядром работ является метод Lp-оценок вытекающий из метода максимального правдоподобия Фишера, в случае его при­менения к семейству распределений [117]

, (3.7)

где n и C_n ¾ параметры распределения; Dn ¾ пара­метр рассеивания, зависящий от n; x и x₀ ¾ значе­ния случайной величины и ее математического ожидания. Известно, что D₂ = s, где s ¾ стандарт измерения, так же известно D₁ для метода наименьших модулей. При n ¹ 1 и n ¹ 2 величина D_n пока не определена, что не позволяет вести обработку неравноточных измерений. Если допустить, что при любом n D_n = D₂ = s, то согласно принципа максимального правдоподобия для уравнивания необходимо отыски­вать минимум целевой функции

, (3.8)

где P = s₀²/s_i² ¾ вес результата измерений, L(X) = j(X)-T ¾ вектор свободных членов нелинейных параметрических уравнений, число которых равно K. В результате минимизации функции (3.8) получим оценки параметров и вектор поправок в результаты измерений

. (3.9)

Как и в случае Lp-оценок для минимизации функции (3.8) применим метод Ньютона

, (3.10)

где H(X^(j)) ¾ матрица Гессе вторых частных производных целевой функции по параметрам; ÑF(X^(j)) ¾ градиент це­левой функции; j ¾ номер итерации. Найдем выражения для этих матриц применительно к целевой функции (3.8).

В дальнейшем будем дифференцировать функцию вида y = |x|ⁿ применяя следующие формулы:

где sign(x) ¾ функция передачи знака (или единица со зна­ком переменной х). В результате дифференцирования функции (3.8) получим

, (3.11)

где А ¾ матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок; P^n/2 ¾ диагональная квадратная матрица весов ре­зультатов измерений, S ¾ квадратная матрица со значениями sign(L(X)) по диагонали. Поиск вторых частных производных осуществим путем дифференцирования (3.11). В результате получим матрицу Гессе

, (3.12)

где

. (3.13)

Здесь внутри скобок используются диагональные элементы |L_i(X)|^n-2. Так как элементы матрицы A так же зависят от X, мы предлагаем, что находимся в малой окрестности ми­нимума целевой функции (3.8) при n = 2, считая А_n=2 » A_n¹2.

С учетом (3.11) - (3.13) формула (3.10) примет вид

. (3.14)

Учитывая, что при х ¹ 0; у¢ = n|x|^n-1. можно записать

. (3.15)