3.5. Уравнивание геодезических сетей при неизвестных законах распределения погрешностей результатов измерений

При выполнении измерений для развития геодезических сетей специального назначения на производстве стремятся применять но­вейшие приборы с точностными характеристиками, отвечающими сов­ременному уровню развития науки и техники. Например, в настоя­щих условиях применяют спутниковые методы высокоточных линейных измерений в сочетании с наземными дальномерными приборами, даю­щими значения расстояний до 10 км с точностью до I мм. При ма­тематической обработке результатов измерений их неоднородность учитывают, задавая соответствующие значения весов. При уравнива­нии сетей современными методами стремятся учитывать не только веса измерений, но и закон распределения погрешностей результа­тов наблюдений. Например, для Lp-оценок применяют соответствующий показатель степени n, входящий в целевую функцию (3.1).

Наши исследования показали, что робастное оценивание лучше выполнять многогрупповым итеративным способом, минимизируя ме­тодами нелинейного программирования критериальную функцию по группам неизвестных. При n ³ 2 целесообразно применять ме­тод Ньютона, в десятки раз превосходящий по быстродействию мно­гогрупповой способ.

Но на практике чаще всего закон распределения погрешностей измерений неизвестен. В этих условиях целесообразно с теорети­ческой точки зрения выполнять уравнивание при n = 2.

Ниже рассмотрим методику оценки точности координат пунктов при неизвестном законе распределения погрешностей результатов измерений.

Пусть дана реальная геодезическая сеть. Уравняем эту сеть при различных n и получим координаты пунктов x_n, y_n. По уклонениям Dx_n = x_n – x₂; Dy_n = y_n – y₂ от оценок параметров, полученных по методу наименьших квадратов, найдем смещение для каждого опре­деляемого пункта, изменяя n t раз. Тогда оценка точности положения пункта при неизвестном законе распределения будет такой

, (3.18)

По значениям m и (S_n) для каждого пункта можно судить об устойчивости оценок параметров к изменению n и о надежности данной геодезической сети для решения поставленных при ее развитии задач.

Приведем результаты такого тестирования геодезической сети для линейно-углового построения, развитого при изучении движе­ний земной коры в районе Камчатки (вулкан Толбачик) и содержаще­го 25 определяемых пунктов. При уравнивании было принято для направлений s_Н = 0,7². Хотя величины m и S_n вы­числялись для каждого пункта, в табл. 3.12 приведены только (S_n)_max при различных n и значение m, соот­ветствующее данному пункту.

Таблица 3.12

Наименования		Показатель степени n
		1		1,5	2,5	3,0	3,5	4,0
№ пункта	25		17	9	19	12	12
(Sn)max, мм	49		78	32	46	56	70
m, мм	28		52	35	52	49	49

Величина m_max на объект составила 52 мм для пунктов 17 и 19. Учитывая, что линейно-угловые сети триангуляции, как правило, характеризуются хорошей обусловленностью, то можно сделать вывод, что на исследуемом объекте качество наблюдений позволяет определить смещение пунктов, превосходящие 50 мм.

Данное тестирование полезно не только для реальных сетей, но и для проектируемых сетей при заданных s_i. После тести­рования с использованием моделированных измерений с ошибками, распределенными по нормальному закону, будет видно, что можно ожидать от будущих реальных измерений с неизвестным законом распределения.

В настоящее время все больше появляется публикаций, где обсуждаются вопросы уравнивания при известных законах распреде­ления погрешностей результатов измерений. Но рамки разработан­ной теории еще ограничены, так как рассчитаны на случаи, когда все погрешности измерений на объекте подчинены какому-либо од­ному закону распределения. В этих случаях предлагают выполнять обработку измерений при конкретном значении n. На прак­тике же следует предусматривать уравнивание, полагая, что каж­дая группа разнородных измерений должна обрабатываться при со­ответствующем ей значении n. Такое уравнивание возможно методами нелинейного программирования путем минимизации целевой функции

, (3.19)

где j ¾ номер группы измерений, имеющей свое значение n_j; N ¾ количество групп результатов измерений с одинаковым значением n; K_j ¾ число измерений в j-той группе; c ¾ произвольная постоянная, которая может быть равна c = s₀ⁿ⁰ где s₀ и n₀ ¾ стандарт и показатель степени n для группы измерений, вес которых равен единице.