5. Арифметичні пристрої Напівсуматор

Напівсуматор – це пристрій, що реалізує функцію «сума за модулем 2»

(М2). Напівсуматори застосовуються при побудові арифметико-логічних пристроїв (АЛП) як елементи, що реалізують функцію нерівнозначності, і як складові частини повних арифметичних суматорів. Таблиця істинності функції, її функціональна схема й умовне зображення показані на рис. 1.16. Очевидно, що на виході напівсуматора буде 1 тільки при комбінаціях вхідних сигналів 01 і 10.

x2 x1 ^{y x1}

0 0 0 ₁

0 1 1

1 0 1 ^x2

1 1 0

1

&

	M2	y
x2

x1

y=x1⁺ х2

¹ y x₁ x₂

&

21

1. б) в)

Рис. 1.16. Функція М2: а) таблиця істинності; б) функціональна схема; в) умовне зображення

Повні двійкові суматори

Правила виконання арифметичних операцій

Арифметичні належать до поширених операцій, що виконуються цифровими пристроями.

Правила виконання арифметичних операцій над двійковими числами є аналогічними до відповідних правил десяткової арифметики й зведені в табл. 1.1 і 1.2.

Таблиця 1.1

Правила й приклад виконання арифметичного додавання

Двійкове додавання
Доданки k -го розряду				Сума k -го розряду	Перенос в k 1- й розряд	Приклад
0	+	0	=	0	0	+	1100	– перенос
0 1	+ +	1 0	= =	1 1	0 0		1101 1100	1-й доданок 2-й доданок
1	+	1	=	0	1		11001	– сума

Таблиця 1.2

Правила й приклад виконання арифметичного вирахування

Двійкове віднімання
Зменшуване k - го розряду	Від’ємне k -го розряду	Різниця k -го розряду	Позика з k 1-го розряду	Приклад
0 – 0 = 0			0	010 – позика
0 – 1 = 1			1	–	1101 – зменшуване
1 – 0 = 1			0		1010 – від'ємний
1 – 1 = 0			0	0011 – різниця

Для виконання арифметичних операцій над двійковими числами зі знаком уводять додатковий (знаковий) розряд, який указує, чи є число позитивним або негативним. Якщо число позитивне, у знаковий розряд проставляється символ 0, якщо негативне, то символ 1. Наприклад, число (+5) з урахуванням знакового розряду (відділяється крапкою) запишеться як 0.101, а число (–3) як 1.011.

При додаванні чисел з однаковими знаками вони складаються, і сумі привласнюється код знака доданків, наприклад:



3

2

⁵10

0.011

_^0.010

0.101₂

3



2

5₁₀

0.011



_ 0.010

0.101₂

22

Ускладнюється операція додавання чисел з різними знаками (алгебраїчне додавання), що рівносильно відніманню чисел. У цьому випадку необхідно визначити більше за модулем число, зробити віднімання й привласнити різниці знак більшого (за модулем) числа.

Для спрощення виконання цієї операції доданки зображуються у зворотному або додатковому кодах, оскільки відомо, що операція віднімання (алгебраїчного додавання) зводиться до операції простого арифметичного додавання двійкових чисел, зображених у зворотному або додатковому кодах. Позитивні числа в прямому, зворотному й додатковому кодах мають той самий вид, а негативні – різний.

Щоб зобразити негативне двійкове число у зворотному коді треба поставити в знаковий розряд 1, а у всіх інших розрядах прямого коду замінити одиниці нулями, а нулі – одиницями, тобто проінвертирувати число.

При записі негативного двійкового числа в додатковому коді, треба поставити 1 у знаковий розряд, а інші розряди одержати зі зворотного коду числа за допомогою додавання 1 до молодшого розряду.

Наведемо приклади запису двійкових чисел зі знаками в прямому, зворотному й додатковому кодах.

Число	Прямий код	Зворотний код	Додатковий код
+6	0.110	0.110	0.110
-5	1.101	1.010	1.011
-11	1.1011	1.0100	1.0101

Пояснимо процедуру віднімання чисел 5 і 3, 3 і 5. Послідовність і взаємозв'язок операцій наведено у табл. 1.3.

Правила віднімання чисел

Таблиця 1.3

Дія	Зворотний код	Додатковий код
5 3 5 32	x1 0,101 x2 1,100 0,101 + 1,100 10,001 0,010 Перенос у молодший розряд. Сума позитивна	x1 0,101 x2 1,101 0,101 +1,101 10,010 х 0,010 Одиниця переносу в молодший розряд ігнорується. Сума позитивна
3 5 3 52	x1 0,011 x2 1,010 0,011 + 1,010 1,101 Перенос у молодший розряд відсутній. Сума негативна й зображена у зворотному коді	x1 0,011 x2 1,011 0,011 + 1,011 1,110 Сума негативна й зображена в додатковому коді

23

З прикладів випливає, що при використанні зворотного коду в пристрої, який забезпечує підсумовування багаторозрядних двійкових чисел – двійковому суматорі, необхідно передбачити ланцюг циклічного переносу. У випадку використання додаткового коду цей ланцюг відсутній.

З наведеного вище можна зробити наступний висновок. Застосування простого математичного «трюку» (подання двійкових чисел у зворотному або додатковому коді) дозволяє пристосувати двійковий суматор для виконання як операцій додавання двійкових чисел, так і операцій їх віднімання.

Більше того, за допомогою двійкового суматора можна забезпечити також виконання й операцій множення й ділення двійкових чисел (тобто всіх чотирьох арифметичних дій), оскільки множення являє собою послідовне додавання, а ділення – послідовне віднімання.