§ 4. Теорія моментів

4.1. Момент сили відносно точки. Теорема Варіньона про момент рівнодіючої

П оняття моменту сили виникло у зв'язку з визначенням обертальної дії сили, прикладеної до тіла, що має одну нерухому точку або нерухому вісь. Розглянемо тверде тіло, що має в точці О кульову опору (рис. 4.1 а, б). Прикладемо в точці А силу . Довжина перпендикуляра d, опущеного з точки О на лінію дії сили , називається плечем цієї сили відносно точки О.

М

Рис. 4.1 а, б

оментом сили відносно точки О називається скалярна величина, що дорівнює взятому з відповідним знаком добутку модуля сили та її плеча відносно цієї точки:

(4.1)

Знак “плюс” ставимо тоді, коли сила намагається повернути тіло навколо точки О проти руху годинникової стрілки, а знак “мінус” – якщо сила намагається повернути тіло за рухом годинникової стрілки.

Геометрично числове значення моменту сили відносно точки О виражається подвоєною площею трикутника ОАВ, вершиною якого є точка О, а основою – дана сила (рис.4.2):

(4.2)

Розмірність одиниці моменту сили в системі СІ виражається у вигляді

Відзначимо такі властивості моменту сили відносно точки:

а) момент сили відносно точки не зміниться при перенесенні точки прикладання сили вздовж лінії її дії. При цьому не змінюється ні модуль сили, ні довжина її плеча;

б

Рис. 4.2

) момент сили відносно точки дорівнює нулю, якщо модуль сили дорівнює нулю або якщо лінія дії сили проходить через точку, бо при цьому довжина плеча дорівнює нулю.

Теорема Варіньона про момент рівнодіючої: момент рівнодіючої плоскої системи збіжних сил відносно деякої точки, що лежить у площині сил, дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно тієї ж точки.

Формула, що виражає теорему Варіньона, записується так:

(4.3)

де

4.2. Момент сили відносно точки як вектор

Моментом сили відносно точки О називається вектор, прикладений у точці О, рівний за модулем добуткові модуля сили та її плеча і направлений по перпендикуляру до площини ОАВ, яка проходить через лінію дії сили і точку О в той бік, звідки видно, що обертання тіла відбувається проти ходу годинникової стрілки (див. рис. 4.2):

(4.4)

З формули (4.4) витікає, що момент сили відносно точки дорівнює векторному добутку радіуса-вектора точки прикладання сили та вектора сили.

4.3. Момент сили відносно осі

Момент сили відносно осі дорівнює моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну до даної осі, відносно точки перетину осі з площиною.

Момент сили відносно осі вважають додатним, якщо з додатного кінця осі поворот, здійснюваний силою , відбувається проти руху годинникової стрілки, та від'ємним – якщо за ходом годинникової стрілки (рис. 4.3). Момент сили відносно осі повністю визначається своєю абсолютною величиною та знаком і є, отже, алгебраїчною, а не векторною величиною.

Момент сили відносно осі визначається за допомогою формули:

(4.5)

Щ

Рис. 4.3

об знайти момент сили відносно будь-якої осі z, потрібно:

1) провести площину xy, перпендикулярну до осі z;

2) спроектувати силу на цю площину та знайти модуль її складової ;

3) опустити з точки перетину осі z з площиною xy перпендикуляр на лінію дії складової і знайти його довжину d, тобто плече сили відносно точки O;

4) обчислити добуток

5) визначити знак моменту сили відносно точки O.

Відзначимо такі властивості моменту сили відносно осі:

1) момент сили відносно даної осі z не зміниться при перенесенні точки А прикладання цієї сили вздовж лінії її дії, бо при цьому не змінюється ні проекція сили, ні її плече d;

2) момент сили відносно даної осі z дорівнює нулю в тих випадках, коли лінія дії сили та вісь z лежать в одній площині:

а) коли сила паралельна до осі z;

б) коли лінія дії сили перетинає вісь z;

3) якщо сила перпендикулярна до осі z, то її момент відносно осі дорівнює добутку модуля сили та найкоротшої відстані між лінією дії сили та віссю.

Момент сили відносно осі z можна визначити як проекцію на цю вісь вектора моменту сили відносно довільної точки О, яка лежить на цій осі:

. (4.6)