8.3. Умови рівноваги довільної просторової системи сил

Для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно та достатньо, щоб одночасно головний вектор і головний момент дорівнювали нулю:

(8.13)

Рівняння (8.13) рівнозначно умовам:

(8.14)

(8.15)

З цих рівнянь зробимо висновок: для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно та достатньо, щоб суми проекцій усіх сил на кожну з трьох координатних осей і суми їх моментів відносно цих осей одночасно дорівнювали нулю.

Задачі на рівновагу невільного твердого тіла, на яке діє довільна просторова система сил, рекомендується розв'язувати в такій послідовності:

1) вибрати тверде тіло, рівновагу якого треба дослідити для визначення шуканих величин;

2) показати на рисунку задані сили;

3) відкинути в'язі, замінивши їх відповідними силами реакцій, і переконатись у тому, що задача є статично визначеною;

4) вибрати систему декартових осей координат;

5) скласти шість рівнянь рівноваги твердого тіла (8.14) і (8.15). У випадку паралельних сил ця система рівнянь спрощується. Наприклад, якщо сили паралельні до осі х, то рівняння рівноваги мають вигляд:

6) розв'язати складену систему рівнянь.

Осі декартових координат рекомендується вибирати так, щоб вони були паралельними або перпендикулярними, по можливості, до більшого числа невідомих сил.

8.4. Випадки приведення просторової системи сил до найпростішого виду

Будь-яка просторова система сил приводиться до однієї сили - головного вектора - та однієї пари сил, момент якої дорівнює головному моменту . Можливі такі випадки:

а) для даної системи сил головний вектор і головний момент дорівнюють нулю ( ) - система знаходиться в рівновазі. При цьому діючі сили задовольняють умовам рівнянь (8.14) і (8.15);

б) якщо для даної системи сил , а то система приводиться до пари сил, момент якої обчислюється за допомогою формул (8.7) і (8.8). Напрямні косинуси вектора визначаються за формулами (8.9);

в) якщо для даної системи сил , а то система приводиться до рівнодіючої , яка проходить через центр приведення О та обчислюється за допомогою формул (8.4), (8.5), (8.6);

г ) якщо для даної системи сил і , але (рис. 8.4), то ця система сил також приводиться до однієї рівнодіючої, яка дорівнює і прикладена в точці А.

Відстань ОА обчислюється за формулою:

Рис. 8.4

(8.16)

Вектор направлений так, щоб обертання навколо точки О силою відбувалось проти ходу годинникової стрілки;

д) якщо для даної системи сил і , а II (рис. 8.5 а), то система сил приводиться до однієї сили і пари сил , яка лежить у площині, перпендикулярній до сили . Така сукупність сили та пари сил називається динамічним гвинтом або динамою. Пряма, уздовж якої направлений вектор , називається віссю динами (рис. 8.5 б);

е

Рис. 8.5 а, б

) якщо для даної системи сил , і , то така система сил також приводиться до динами, але вісь динами не проходить через точку О, а проходить через точку А (рис. 8.6 а, б). При цьому:

Рис. 8.6 а, б

(8.17)

Рівняння центральної гвинтової осі мають вигляд:

(8.18)

Вказівка. Для закріплення теоретичного матеріалу § 8 необхідно розв’язати наступні задачі із збірника: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1981 (або 1986):

1) №№ 8.12 - 8.16;

2) №№ 8.17; 8.19; 8.21; 8.24; 8.28; 8.36;

3) №№ 8.31; 8.33; 8.37 - 8.39.