1.4Понятие о частотных характеристиках звеньев и систем
План лекции:
Частотные характеристики: амплитудно-частотная характеристика, фазово-частотная характеристика и амплитудно-фазовая частотная характеристика.
Связь между передаточной функцией системы и ее частотными характеристиками.
Логарифмические частотные характеристики.
Литература: [2], [3].
1. Частотными характеристиками называются зависимости, связывающие входную и выходную величины линейной системы или звена в установившемся режиме, когда входная величина изменяется по гармоническому закону. Допустим на вход устройства подано гармоническое воздействие
,
где
– амплитуда, а
– круговая частота этого воздействия.
По окончании переходного процесса на
выходе устройства будут существовать
гармонические колебания с той же
частотой, что и входные колебания, но
отличающиеся в общем случае по амплитуде
и фазе, т.е. в установившемся режиме
выходная величина устройства
где
– амплитуда выходных установившихся
колебаний;
– фазовый сдвиг между входными и
выходными колебаниями.
При фиксированной амплитуде входных колебаний амплитуда и фаза установившихся колебаний на выходе устройства зависит от частоты колебаний. Если постепенно увеличивать от нуля частоту входных колебаний и определять установившиеся значения амплитуды и фазы выходных колебаний для различных частот, можно получить в зависимости от частоты отношение амплитуд
,
и сдвиг
выходных и входных установившихся
колебаний. Эти зависимости называются
соответственно
– амплитудной частотной характеристикой
(а.ч.х.) и
– фазовой частотной характеристикой
(ф.ч.х).
Амплитудную и фазовую частотные
характеристики можно объединить в одну
характеристику – амплитудно-фазовую
частотную характеристику (а.ф.ч.х.).
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
строится следующим образом. Усиление
амплитуды
представляется в виде вектора,
откладываемого от оси абсцисс под углом,
равным сдвигу фазы на каждой частоте.
Соединяя концы всех векторов, получаем
некоторую кривую, которая и является
графиком амплитудно-фазовой характеристики
(рис.11а).
Рис.11
Амплитудно-фазовую частотную характеристику можно строить и в прямоугольной системе координат – в комплексной плоскости. При этом координатами будут показанные на рис.11б проекции P и Q вектора A на соответствующие оси. Зависимости P() и Q() называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками.
2. Аналитические выражения для рассмотренных выше частотных характеристик могут быть легко получены по передаточной функции звена W(p), если оператор Лапласа P заменить оператором Фурье - j, где: j – комплексная круговая частота гармонического входного сигнала. В таком случае передаточная функция системы или звена может быть представлена комплексным выражением:
, (18)
где 
– амплитудно-фазовая частотная
характеристика;
– выражение для амплитудно-частотной характеристики звена, численно равное модулю ;
. (19)
– выражение для фазовой частотной характеристики звена, численно равное аргументу :
. (20)
Чтобы проанализировать применение введенных понятий, рассмотрим инерционное звено, для которого имеем передаточную функцию в виде
.
Заменяя
,
получим комплексную частотную
характеристику
. (21)
Для дальнейшего использования преобразуем
выражение (21). Для этого умножим числитель
и знаменатель на величину
и учитывая, что
,
запишем
,
где
;
.
Амплитудно-частотная характеристика будет
(22)
а фазово-частотная характеристика
. (23)
Графическая интерпретация соотношений (22), (23) и амплитудно-фазовой частотной характеристики представлена на Рис.12.
Рис.12
а), б) – амплитудно- и фазочастотные характеристики, в) – амплитудно-фазовая частотная характеристика.
Как видно, из амплитудно-частотной характеристики, инерционное звено хорошо пропускает колебания низкой частоты в плохо колебания высокой частоты.
Еще раз напомним, что связь между частотными характеристиками системы и составляющих ее звеньев определяется выражением для передаточной функции, если подставить в него .
Соответственно амплитудно-фазовая частотная характеристика цепочки последовательно соединенных звеньев разомкнутой системы, согласно (13), имеет вид:
, (24)
где 
- амплитудно-фазовая
частотная характеристика i-го
звена цепочки. Отсюда
,
т.е.
. (25)
, (26)
где
и
–
амплитудная и фазовая характеристики
цепочки звеньев, а
и
– эти характеристики i-го
звена.
Амплитудно-частотная характеристика цепочки звеньев равна произведению амплитудных частотных характеристик составляющих ее звеньев. Фазово-частотная характеристика цепочки звеньев равна сумме фазово-частотных характеристик составляющих ее звеньев.
3. При исследовании систем автоматического управления амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах. Если прологарифмировать выражение (25), получим
; (27)
т.е. в логарифмическом масштабе амплитудная
частотная характеристика цепочки
звеньев равна сумме амплитудных
характеристик отдельных звеньев.
Амплитудная частотная характеристика
в логарифмических координатах строится
в виде зависимости
от
,
называемой логарифмической амплитудной
характеристикой (л.а.х.), а фазовая в виде
зависимости
от
,
называемой логарифмической фазовой
характеристикой (л.ф.х.). Величина
обозначается L. В
качестве единицы этой величины
используется децибел, равный одной
десятой бела. Бел – это единица десятичного
логарифма коэффициента усиления
мощности сигнала, т.е. 1 бел соответствует
усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100
раз, 3 бела – 1000 раз и т.д. Так как мощность
сигнала пропорциональна квадрату
амплитуды, а
,
то усиление в белах, выраженное через
отношение амплитуд, равно
.
Соответственно в децибелах оно равно
.
В качестве примера рассмотрим построение
л.а.х. для инерционного звена. (Инерционное
звено можно представить в виде
последовательного соединения
пропорционального и единичного
инерционного звеньев
.
Для этого прологарифмируем выражение
(22):
. (28)
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика рассматриваемого звена может быть приближенно представлена ломаной линией, которая показана на рис.13.
Рис.13.
Эта приближенная характеристика
называется асимптотической л.а.х.
Такое название связано с тем, что эта
характеристика составлена из двух
асимптот, к которым стремится л.а.х. при
и
.
Найдем эти асимптоты. При малых значениях
в выражении (28):
т.е.
.
Соответственно характеристика
представляет собой прямую параллельную
оси абсцисс и проходящую на уровне
.
Это есть первая асимптота, к которой
стремится л.а.х. при
.
С другой стороны, на больших частотах,
когда
в (28):
т.е.
..
В этом случае характеристика представляет собой прямую, имеющую наклон – 20 дб/дек. Действительно, при увеличении на декаду, т.е. в 10 раз.
.
Таким образом, величина
уменьшилась на
,
т.е. на 20 дб. Эта линия является второй
асимптотой, к которой стремится л.а.х.
при
.
Как видно из л.а.х., полоса пропускания
частот инерционного звена лежит
приблизительно в пределах
.
Заметим, что как передаточная функция, так и частотные характеристики описывают один и тот же процесс, одни и те же свойства системы с одинаковой плотностью. Применение той или иной характеристики для исследования системы зависит не столько от ее устройства, сколько от ее назначения и использования. Так, например, назначение всякого фильтра состоит в том, что пропустить колебания одних частот и задержать колебания других частот; иначе говоря, фильтр видоизменяет спектр воздействия. Поэтому действие и свойства фильтра естественно рассматривать с помощью частотных характеристик.