Относительность линейных масштабов и времени.
Относительность промежутков времени.
Снова
рассмотрим вагон, который движется со
скоростью
.
Предположим, что пассажир вагона
подбрасывает яблоко; оно летит вертикально
вверх, возвращается, и пассажир ловит
его. В системе отсчёта вагона события
«яблоко брошено» и «яблоко поймано»
происходят в одной точке. Промежуток
времени между этими событиями, т. е.
время полёта яблока в системе отсчёта
вагона, измеряется по одним и тем же
часам, расположенным в точке броска-ловли.
Но в системе отсчёта земли наши события
происходят в различных пространственных
точках. Момент броска яблока фиксируется
по часам, расположенным в исходной
точке, а момент ловли — по другим часам,
расположенным в той точке, куда
переместится вагон за время полёта
яблока. Эти двое часов синхронизированы
по правилу Эйнштейна. Время полёта
яблока в системе отсчёта земли — это
разность показаний вторых часов в момент
ловли и первых часов в момент броска. И
вот оказывается, что время полёта яблока,
измеренное по вагонным часам, будет
меньше времени полёта, измеренного по
часам на земле! Разобраться в этом не
сложно. Давайте только заменим яблоко
на световой сигнал, который бегает между
горизонтальными зеркалами, расположенными
внутри вагона (рис. 6). Тем самым мы
максимально упростим себе задачу.
Сначала
рассмотрим ход сигнала в системе отсчёта
вагона. Сигнал выходит из точки A, идёт
вертикально вверх, отражается от зеркала
и возвращается назад в точку A (рис. 6,
слева). Время распространения сигнала
от нижнего зеркала к верхнему и обратно,
измеренное по часам A, обозначим
.
Если
— расстояние между зеркалами, то
выполнено соотношение
Теперь
перейдём в систему отсчёта земли. Здесь
сигнал будет двигаться между зеркалами
по ломаной ABC (рис.6, справа). Время
распространения сигнала от нижнего
зеркала к верхнему и обратно есть
разность показаний синхронизированных
часов: в точке C в момент прихода сигнала
и в точке A в момент его отправления.
Обозначим это время через τ. За время τ
сигнал проходит путь AB +BC, равный cτ , а
вагон — путь AC = vτ . По теореме Пифагора
имеем:
или
.
Умножаем
это равенство на 4:
С учётом
получим:
.
Отсюда
можно выразить τ через
:
Полученная
формула носит совершенно общий характер.
Пусть имеются две системы отсчёта
и
, причём система
движется относительно
со скоростью
.
Рассмотрим два события, которые в системе
происходят в одной точке пространства.
Время
между этими событиями в системе
называется собственным временем. По
часам системы
между этими событиями проходит время
,
которое связано с собственным временем
соотношением
Обратим
внимание, что в этой формуле собственное
время
делится на величину, меньшую единицы;
поэтому всегда выполнено неравенство
>
При этом время τ
оказывается тем больше, чем с большей
скоростью система
движется
относительно
.
Данный эффект — так называемое
релятивистское
замедление времени
— оказывается весьма существенным при
скоростях, близких к скорости света.
Относительность расстояний.
При выводе формулы мы неявно предполагали, что расстояние между зеркалами одинаково как в вагоне, так и на земле. Вертикальные размеры предметов являются одними и те же как в вагонной, так и в земной системе отсчёта. Чтобы убедиться в этом, давайте возьмём два одинаковых вертикальных стержня; один из них поместим в вагон, а другой оставим на земле. Оба стержня пусть будут на одной и той же высоте над землёй. Когда стержни поравняются друг с другом, концы одного стержня сделают засечки на другом стержне. Так вот, из принципа относительности следует, что эти засечки должны прийтись в точности на концы другого стержня. В самом деле, пусть по засечкам оказывается, например, что вагонный стержень короче земного, т. е. движущийся стержень короче покоящегося. Но по принципу относительности инерциальные системы отсчёта полностью равноправны. Давайте перейдём в систему отсчёта вагона: там вагонный стержень будет покоиться, а земной — двигаться. Тогда получится, что движущийся стержень длиннее покоящегося. Противоречие! Итак, поперечные размеры предметов одинаковы как в покоящейся, так и в движущейся системе отсчёта. Иначе обстоит дело с продольными размерами.
Вновь вернёмся к нашему вагону и рассмотрим стержень AB, расположенный вдоль вектора скорости вагона (рис. 7). Стержень, таким образом, двигается со скоростью параллельно оси X.
Пусть
— длина неподвижного стержня, измеренная
в вагоне. Она называется собственной
длиной стержня. Через
обозначим длину движущегося стержня,
измеренную на земле.
Для нахождения соотношения между и рассмотрим два события: 1) прохождение точки A мимо фиксированной точки O на оси X; 2) прохождение точки B мимо точки O.
В
земной системе отсчёта наши события
происходят в одной точке O. Промежуток
времени между этими событиями по земным
часам пусть равен τ0 (это собственное
время, разделяющее данные события).
Очевидно, что
.
В системе отсчёта вагона указанные
события происходят в двух различных
точках A и B. Промежуток времени между
этими событиями по вагонным часам равен
τ. Аналогично имеем:
.
Приравнивая правые части формул, получим:
.
Но в силу
имеем:
.
Отсюда получаем окончательную формулу:
:
.
Как видим, собственная длина умножается на величину, меньшую единицы; стало быть, длина движущегося стержня будет меньше длины покоящегося стержня. Это так называемое лоренцево сокращение — все тела сокращают размеры в направлении своего движения. Подчеркнём ещё раз: длина стержня в системе отсчёта, относительно которой стержень движется, меньше длины этого же стержня в системе отсчёта, относительно которой он покоится. Данный эффект связан лишь с особенностями измерительных процедур, свойственных теории относительности. Никаких реальных «сжатий» в движущемся стержне, разумеется, не происходит.