6. Связь между угловым и линейным параметром

Для изменения радиус-вектора  , проведенного в точку A из произвольной точки О оси вращения тела, имеем . Поделим обе части этого выражения на   с учетом того, что  и   ,   - формула Эйлера.

Модуль скорости  . Найдем полное ускорение точки A из формулы Эйлера, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения двух функций  или .

Определим, какое слагаемое представляет собой нормальное, а какое –тангенциальное, ускорения:

 - второе слагаемое,  - первое слагаемое;

или, рассуждая иначе: так как ось вращения неподвижна, то     - это  ;   -  .

Эти проекции равны ; ,

а модуль полного ускорения - .

В екторы полного ускорения точек твердого тела, лежащих на одном и том же радиусе, проведенном перпендикулярно оси вращения, параллельны друг другу, а их модуль растет пропорционально расстоянию от оси. Угол   характеризует направление  относительно радиуса и равен

, он не зависит от  .

Итак, линейные и угловые параметры связаны следующим образом:

,  ,  ,  .

Можно провести следующую аналогию между поступательным и вращательным видами движения: так, при  :  ,  ; при  :  ,  .

7. Динамика. Масса и импульс тела. Основные законы динамики.

Динамика – это раздел механики, в котором изучают движение тел под действием приложенных к ним сил. При изучении величин, которые характеризуются не только величиной, но и направлением (например, скорость, ускорение, сила и т. п.) применяют их векторное изображение.

Масса

Масса - физическая величина, являющаяся мерой инертности тел (инертная масса) и их гравитационных свойств (гравитационная масса)

Инертность - податливость тела к изменению его скорости (по модулю или направлению).

Единицы измерения массы в СИ:

.

Свойства массы: - аддитивность:  - масса системы равняется сумме масс отдельных еe элементов; - независимость от скорости движения; - постоянство массы для изолированной системы тел и независимость от происходящих в них процессов:  - закон сохранения массы.

Импульс тела

 - количество движения (по Ньютону); импульс (современное название).

В основе классической динамики в механике (основной раздел механики) лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета.

Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т. е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил

тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил).

В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой

приложения. Итак, сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда пропорционально равнодействующей приложенных сил: .

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения

оказываются различными, а именно

Учитывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать

Соотношение выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе

материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности к — 1. Тогда или

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении ее можно внести под знак производной:

Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение называется также уравнением движения материальной точки.

Если на тело действует несколько сил, то в формулах под F подразумевается их результирующая

(векторная сумма сил).

Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 в направлении действия силы: 1Н = 1кг* . Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: , где — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона, как впрочем, и первые два, справедлив только в инерциальных системах отсчета.