3 Система кинематических уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности

Угол поворота и угловую скорость можно определить как интегралы:

, .

Решение этих уравнений приводит к системе уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности:

.

Для решения задач с использованием данной системы уравнений необходимо использование дополнительных формул.

Пусть N – полное число оборотов, тогда полный угол поворота буде равен:

.

Если T – период вращения (время одного полного оборота), тогда частота вращения n определяется по формуле: .

А угловая скорость определяется по формулам: , .

4 Система кинематических уравнений, описывающих движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту (рис. 2.3). Перемещение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два: горизонтальное и вертикальное. Именно поэтому изобразим направление вектора скорости в различных точках траектории и, используя правило параллелограмма, разложим его на составляющие, параллельные осям OX и OY, как это сделал Г. Галилей.

Проекции вектора скорости на оси OX и OY равны:

, (4.1)

. (4.2)

Так как относительно оси OX вектор скорости не меняет своего направления, то относительно этой оси тело движется равномерно, т.е. подчиняется законам равномерного движения:

, (4.3)

. (4.4)

Так как относительно оси OYвектор скорости изменяется, как и при движении свободного падения, то движение тела относительно оси OY подчиняется законам свободного падения:

, (4.5)

, (4.6)

. (4.7)

Скорость тела в любой момент времени определяется по формуле (рис. 2.3):

. (4.8)

Угол, под которым тело падает на землю, определяется из соотношения:

. (4.9)

Полное ускорение определяется теоремой Пифагора (рис. 2.4):

. (4.10)

5 Примеры решения задач

Задача 1

Мяч бросили со скоростью V₀ под углом α к горизонту. Сколько времени t мяч будет находиться в воздухе? На какую высоту h мяч поднимется? На каком расстоянии S от места бросания мяч упадет?

Р ешение

1. Рассмотрим перемещение тела, брошенного под углом к горизонту, в горизонтальном и вертикальном направлении.Найдем время полета мяча t. Из чертежа к задаче (рис. 2.5) видно, что координата за все время движения не изменилась, т.е.: . Следовательно, используя формулу 4.7, получим выражение для определения времени движения тела:

3) Определим, на каком расстоянии S от места бросания мяч упадет на землю. Для этого в формулу 4.4 подставим полученное выражение для времени:

4) Высоты h мяч достигнет через время . Тогда:

Задача 2

Тело, брошенное горизонтально, упало на землю через время t на расстоянии S от места бросания. С какой высоты h кинули тело? Определить начальную V₀ и конечную Vскорости тела. Какой угол φ составляет траектория тела с горизонтом в точке падения?

Решение

1) Перемещение тела, брошенного горизонтально, разложим на два: горизонтальное и вертикальное (рис. 2.6).

2 ) Проекция начальной скорости на ось OY равна нулю, т.к. вектор начальной скорости перпендикулярен оси OY:

Начальная координата Y₁ = h, конечная координата Y₂ = 0. Следовательно:

3) Относительно оси OХ движение равномерное. Поэтому относительно оси OХ:

4) Конечную скорость находят по формуле для определения полной скорости в любой момент времени:

Тогда:

4) Из чертежа к задаче (рис. 2.6) видно, что угол φ, который составляет траектория тела с горизонтом в точке падения, будет равен:

Задача 3

По интегральной зависимости между углом поворота и угловой скоростью и между угловой скоростью и угловым ускорением получить систему уравнений, описывающих равнопеременное движение по окружности. Сравнить полученную систему с системой уравнений, описывающих поступательное равноускоренное движение.

Решение

По определению угловая скорость равна первообразной от углового ускорения: . Проинтегрируем это выражение и получим:

В момент времени угловая скорость равна – начальному значению. Следовательно, постоянная интегрирования С₁принимает значение начальной угловой скорости: .

Тогда получаем зависимость угловой скорости от времени:

.

По определению угол поворота равен первообразной от угловой скорости: . Проинтегрируем это выражение и получим:

В момент времени угол поворота равен – начальному значению. Следовательно, постоянная интегрирования С₂принимает значение начального значения угла поворота: .

Таким образом, получаем зависимость угла поворота от времени:

.

Окончательно получаем систему уравнений, описывающих равноускоренное движение по окружности:

Сравнивая полученную систему с системой уравнений, описывающих поступательное равноускоренное движение , можно сделать вывод об универсальности системы уравнений для любых видов равноускоренного движения. Т.е. законы, описывающие равноускоренное движение, симметричны.

ДИНАМИКА

План

1. Основные понятия динамики.

2. Первый закон Ньютона.

3. Второй закон Ньютона.

4. Третий закон Ньютона.

5. Виды сил в природе. Сила всемирного тяготения.

6. Силы упругости.

7. Сила тяжести.

8. Вес тела.

9. Силы реакции.

10. Силы трения.

11. Принцип относительности Галилея. Закон сложения скоростей.

12. Примерырешения задач.

1 Основные понятия динамики

Динамика – раздел механики, изучающий законы механического движения с учетом причин, вызывающих это движение (сила – причина изменения поступательного движения, момент силы – вращательного движения).

Сила – физическая величина, являющаяся количественной мерой взаимодействия тел. В Системе интернациональной сила измеряется в Ньютонах:

.

Сила – векторная величина, а это значит, что она имеет точку приложения, направление и абсолютное значение (модуль). Например, сила тяжести (рис. 3.1): т.О – центр тяжести тела – точка приложения силы тяжести; вектор показывает направление силы тяжести; модуль силы тяжести равен: .

Векторную сумму сил можно рассматривать как принцип суперпозиции сил. Векторная сумма сил, действующих на тело, называется равнодействующей:

.

Законы динамики являются обобщением экспериментальных фактов. Законы Ньютона являются ядром всей механики. Из них можно получить другие законы механики.