6. Выбор диаметров пневматических линий

Одной из задач проектирования пневмосистем является выбор диаметров линий, при которых обеспечивается максимальное их быстродействие.

Эта задача наиболее актуальна при автоматизации процессов контроля и измерения; при разработках пневматических систем управления для управления быстродействующими процессами; при проектировании приводных устройств на базе пневматических моторов, позиционных и следящих пневмоприводов.

С увеличением диаметра линии возрастает и заполняемый объем линий, что затягивает переходный процесс. Однако, с другой стороны, при увеличении диаметра линии уменьшается ее сопротивление, поэтому переходный процесс будет проходить более интенсивно.

Следовательно, существует оптимальное значение диаметра линии, при котором переходный процесс проходит за минимальное время.

6.1. Расчет диаметров линий связи пневматических систем управления

Максимальное быстродействие будет достигнуто, если в момент прихода фронта волны давления на конец линии его величина будет иметь максимальное значение.

Расчет диаметров линий пневматических систем управления для турбулентного течения газа в линии

Рассмотрим движение газа до момента прихода волны давления на конец ЛС, т.е. для интервала t =0 ÷ l/c. Определим условия, при которых за это время величина фронта давления будет иметь максимальное значение.

Скорость нарастания давления в конце линии определим из уравнения (5.38):

На интервале t < l/c имеем G_вых = 0. Тогда:

До момента времени t = l/c давление в конце линии р₂ равно давлению р_А на выходе линии. Поэтому в этом уравнении давление р₂ представляет собой некоторое условное давление, которое «проявится» на конце линии только через время t = l/c, равное времени прохождения волны давления, т.е. времени прохождения звука по линии.

Из полученного уравнения следует, что скорость нарастания условного давления определяется скоростью газа. Поэтому критерием достижения максимальной величины давления фронта волны в линии может служить обеспечение в любой момент времени максимальной скорости газа v.

Таким образом, необходимо найти зависимость скорости движения газа от параметров линии и газа и определить значения параметров, при которых скорость газа будет максимальной.

Уравнение движения газа в ЛС для t < l/c имеет вид:

. (6.1)

Выразим давление р₁ через скорость газа.

Запишем уравнение для определения расхода в начале линии (2.13) в следующем виде:

.

Упростим полученное уравнение:

Правомерность такой записи для давлений промышленной сети не более 0,5 МПа подтверждается хорошим совпадением результатов расчетов расхода G₁ по обеим формулам (рис. 6.1).

Кривые 1 и 2 представляют собой соответственно графики функций

и

Обозначим:

Тогда уравнение для определения G₁ будет иметь вид:

(6.2)

С другой стороны, расход в начале линии можем представить следующим образом /1/:

(6.3)

Решая совместно (6.2 ) и (6.3 ), получим:

(6.4)

Выразим диаметр d трубопровода через величину его сечения:

.

Тогда уравнение (6.40) для определения р_ТР будет иметь вид:

. (6.5)

Подставляя полученные выражения для р₁, р_ТР из уравнений (6.4) и (6.5) в (6.1), запишем уравнение изменения скорости газа в следующем виде:

Полученное уравнение по форме напоминает уравнение движения тела в вязкой среде, сила сопротивления в которой зависит от коэффициента демпфирования при переменной ². Следовательно, максимальное быстродействие при передаче пневматического сигнала может быть достигнуто при минимальном значении коэффициента демпфирования:

.

Значение , при котором коэффициент демпфирования принимает минимальное значение, найдем из условия нахождения экстремумов функций:

Выполняя дифференцирование, получим:

, (6.6)

откуда найдем площадь проходного сечения f ЛС:

. (6.7)

Отсюда, имея в виду, что f = d²/4, находим величину диаметра ЛС:

.

Принимая плотность газа равной плотности при начальных условиях, в соответствии с уравнением состояния получим RT=р_А. Тогда, подставляя ранее полученное значение

,

после преобразований окончательно получим:

(6.8)

Докажем, что полученное сечение линии соответствует минимальному значению коэффициента , т.е., максимальной величине скорости газа, а, следовательно, и максимальному давлению на конце линии. Для этого требуется доказать, что в точке экстремума вторая производная больше нуля, т.е. d²/df² > 0.

Дифференцируя вторично выражение (6.6), получим:

.

Очевидно, что при любых значениях параметров d²/df² > 0.

Следовательно, в точке экстремума функция принимает минимальное значение. Таким образом, значение f, вычисляемое по формуле (6.7), соответствует площади сечения, при которой обеспечивается максимальное быстродействие линии.