3.2. Математическая модель пневмопривода с торможением путем изменения параметров выхлопной линии

Напишем уравнения математической модели пневмопривода при торможении его путем уменьшения проходного сечения выхлопной линии. Пусть торможение начинается, как только поршень достигает некоторого заданного значения координаты х_Т. В этот момент происходит изменение площади проходного сечения линии на выхлопе. В общем случае в математической модели можно изменять как площадь сечения выхлопной линии f₂, так и коэффициент ее сопротивления ₂ на некоторые новые значения f_2Т и _2Т соответственно.

Уравнение движения привода и уравнение изменения давления воздуха в полости нагнетания остаются, как и в предыдущей математической модели.

,

.

Изменение давления в выхлопной полости в период разгона и движения до начала торможения также можно описать полученным ранее уравнением:

.

Однако, как только привод достигает значения координаты х_Т, в этом уравнении площадь проходного сечения линии и (или) коэффициент ее сопротивления изменяются, т.е. уравнение будет иметь аналогичный вид, но с другими параметрами выхлопной линии:

.

Оба эти уравнения можем объединить в одно уравнение, используя логические коэффициенты Н_Р и Н_Т :

, (3.33)

где f₂ и f_2Т – площадь проходного сечения выхлопной линии при разгоне и торможении соответственно, ₂ и _2Т – коэффициенты сопротивления выхлопной линии при разгоне и торможении соответственно, Н_Р (разгон) и Н_Т (торможение) - коэффициенты управления, которые удовлетворяют условию:

Н_Р = 1 и Н_Т = 0 при х < х_Т,

Н_Р = 0 и Н_Т = 1 при х  х_Т. (3.34)

При составлении программы удобно воспользоваться готовыми функциями, входящими в программное обеспечение. Так, например, чтобы записать приведенные выше логические условия математическими зависимостями, воспользуемся функцией Хэвисайда. Значение функции Хэвисайда Ф(t) зависит от величины переменной t и принимает два значения: 0 или 1:

Ф(t)  = 1 при t>0 и Ф(t) = 0 при t  ≤ 0.

Таким образом, используя функцию Хэвисайда, уравнение изменения давления в выхлопной полости с учетом логических выражений (3.33) можно записать следующим образом:

В переходных процессах возможен отскок поршня в обратную сторону. В этом случае давление в полости нагнетания за счет компрессии может вырасти до величины, большей давления питания. Поэтому начинается процесс истечения воздуха из полости нагнетания через регулятор давления в атмосферу. При этом регулятор давления поддерживает постоянную величину давления р_М. Следовательно, при расчетах можно считать, что выхлоп в таких ситуациях происходит не в атмосферу, а в среду с давлением р_М, т.е., условно говоря, в магистраль. Для учета этого явления необходимо добавить дополнительное слагаемое во втором уравнении математической модели пневмопривода (3.32), которое учитывает процесс истечения из рабочей полости. Поэтому уравнение изменения давления в полости нагнетания будет иметь вид:

, (3.35)

где f₁ и f_1М – площадь проходного сечения трубопровода полости нагнетания при ее наполнении и истечении в магистраль соответственно, ₁ и _1М – коэффициенты сопротивления линий нагнетания при наполнении полости нагнетания и при истечении в магистраль соответственно, Н₁ и Н_М – коэффициенты управления, которые удовлетворяют условию:

Н₁ = 1 и Н_М = 0 при р₁ < р_М,

Н₁ = 0 и Н_М = 1 при р₁  р_М. (3.36)

Вместо использования коэффициентов управления (3.36) можем записать уравнение изменения давления в полости нагнетания (3.35), используя функцию Хэвисайда:

Чтобы исключить сбой в программе при вычислении корней из отрицательных чисел в некоторых случаях рекомендуется вычислять абсолютные значения подкоренных выражений.

Таким образом, окончательно получим следующую математическую модель пневмопривода, торможение которого осуществляется изменением проходного сечения выхлопной линии и начинается в заданной точке х_Т:

p₁ F₁ – p₂ F₂ – p_A(F₁ – F₂ ) – N,

(3.37)

если х  0, то ,

если х  S, то .