39. Производная сложной функции.

40. Производные высших порядков.

Производные высших порядков

Если функция   имеет производную в каждой точке   своей области определения, то ее производная   есть функция от  . Функция  , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции   (или второй производной) и обозначают символом  . Таким образом

Пример:

Задание. Найти вторую производную функции 

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ. 

Калькулятор для решения производных

http://www.webmath.ru/web/prog57_1.php

41. Дифференциал функции.

Дифференциал функции

Пусть функция   дифференцируема в точке  , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно   и нелинейного членов:

где   при  .

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

42. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях Приращение   функции   представимо в виде: где функция   является б.м. функцией при стремлении аргумента   к нулю. Так как  , то В силу того, что второе слагаемое   является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике. Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Задание. Вычислить приближенно   , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию  . Необходимо вычислить ее значение в точке   . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины   и   выбираются так, чтобы в точке   можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а   было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что   , то есть  ,  .

Вычислим значение функции   в точке  :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение  :

Тогда

Итак,

Ответ.