Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.
Понятие комплексного числа.
Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Векторы. Операции над векторами.
Координаты векторов. Действия над векторами, заданными своими координатами.
. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:
(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
В самом деле, для двух векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) имеем
(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) =
= (x1e1 + y1e2 + z1e3) + (x2e1 + y2e2 + z2e3) =
= (x1 + x2) e1 + ( y1 + y2) e2 + (z1 + z2) e3 =
= (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.
2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:
(x1; y1; z1) — (x2; y2; z2) = (x1 — x2; y1 — y2; z1 — z2)
Доказательство проведите самостоятельно.
3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
В самом деле, для вектора (x1; y1; z1) и числа λ, имеем
λ (x1; y1; z1) = λ (x1e1 + y1e2 + z1e3) =
= (λ x1)e1+ (λ y1)e2 + (λ z1)e3 = (λx1; λy1; λz1)
Деление отрезка в данном отношении.
Если
точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей
через две данные точки 
(
, 
)
и 
(
, 
),
и дано отношение 
,
в котором точка М делит отрезок 
,
то координаты точки М определяются по
формулам
, 
.Если
точка М является серединой отрезка
,
то ее координаты определяются по
формулам
, 
.
Длина вектора.
Формула длины вектора для плоских задач
В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
|a| = √ax2 + ay2
Формула длины вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
|a| = √ax2 + ay2 + az2
Скалярное произведение двух векторов.
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz