17. Угол между двумя векторами.

Определение.

 Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Основное соотношение.

 Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Формула вычисления угла между векторами

cos α =	a·b
	|a|·|b|

18. Общее уравнение прямой.

Всякое уравнение относительно    вида

где    – постоянные коэффициенты, называется общим уравнением прямой и однозначно определяет на плоскости некоторую прямую. Заметим, что вектор    перпендикулярен прямой, т. е. будет её нормальным вектором. Рассмотрим частные случаи.

1)   , прямая проходит через начало координат, когда   ;

2)   , или    когда   ; горизонтальная прямая (параллельна оси   );

3)    или    при    – вертикальная прямая (параллельна оси   ).

19. Векторное и каноническое уравнение прямой.

20. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами

(a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x	+	y	= 1
a		b

21. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид:

 (8)

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁

Пример 4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Подставляя в уравнение (8) x₁=1, y₁=2, x₂=-1; y₂=1 получим:   откуда   или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

22. Пересечение двух прямых. Угол между двумя прямыми.

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на два луча. Очевидно, эти лучи образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Таким образом, если нам известна мера одного из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, то мы можем определить меры трех остальных углов. Действительно, пусть один из углов равен углу  . Тогда вертикальный с ним угол также равен  , а смежные с ним углы равны  . Если  , то все четыре угла являются прямыми. В этом случае пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (им посвящена статья перпендикулярные прямые).

23. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Условие параллельности

       Если прямые линии параллельны, то они наклонены к числовой оси ОХ под одним и тем же углом, следовательно, разница углов наклона параллельных прямых равна нулю (действительно они никогда не пересекаются). Тангенс угла в ноль градусов (ноль радиан) равен нулю. То есть левая часть уравнения (1-4) равна нулю, тогда нулю должна быть равна и правая часть данного выражения. Дробь равна нулю если числитель равен нулю. В нашем случае это может быть при:

k2 = k1.                                          (1-5)

Это и есть условие параллельности двух прямых линий.

Условие перпендикулярности

Если две прямых линии взаимно перпендикулярны, то угол между ними равен 90 или П/2 радиан. Тангенс такого угла не существует (иногда говорят, что он равен бесконечности). Правая часть (1-4) не существует при равенстве нулю знаменателя, т.е.

k2 * k1 = -1.                                   (1-6)

Условие (1-6) или что тоже самое   является условием перпендикулярности заданных прямых.