43. Монотонность функции. Исследование функции на монотонность.

Монотонность функции

Монотонность функции, основные понятия и определения

Определение

Функция   называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

Пример

Функция   является возрастающей на промежутке  , так как:

для 

Определение

Функция   называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

Пример

Функция   является строго убывающей на промежутке  , так как:

для 

Функция   строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Определение

Функция   называется неубывающей на промежутке, если из неравенства   следует неравенство  .

Функция   называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства   следует неравенство  .

44. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум.

45. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция   определена и непрерывна на отрезке   , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение   функция   принимает в точке  , то  будет локальным максимумом функции  , так как в этом случае существует окрестность точки  , такая, что  .

Однако свое наибольшее значение   функция   может принимать и на концах отрезка   . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение   непрерывной на отрезке   функции  , надо найти все максимумы функции на интервале  и значения   на концах отрезка  , то есть   и  , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением   непрерывной на отрезке   функции   будет наименьший минимум среди всех минимумов функции   на интервале   и значений   и  .

46. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Выпуклость функции, точки перегиба

График функции  , дифференцируемой на интервале  , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала   лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции  , дифференцируемой на интервале  , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала   лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция   определена на интервале   и имеет непрерывную, не равную нулю в точке  вторую производную. Тогда, если   всюду на интервале  , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если  , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции   называется точка  , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция   имеет перегиб в точке  , то   или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

первая производная   непрерывна в окрестности точки  ;

вторая производная   или не существует в точке  ;

 при переходе через точку   меняет свой знак,

тогда в точке   функция   имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Найти вторую производную функции.

Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции 

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение  :

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке   вторая производная  , то на этом промежутке функция  выпукла; в силу того, что на промежутке   вторая производная   - функция вогнута. Так как при переходе через точку   вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка   - точка перегиба графика функции.

На промежутке   функция выпукла, на промежутке   функция вогнута.

47. Схема исследования функции и построение графиков.

Исследование функции и построение ее графика

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

Область определения   и область допустимых значений   функции.

Четность, нечетность функции.

Точки пересечения с осями.

Асимптоты функции.

Экстремумы и интервалы монотонности.

Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

Сводная таблица.

Замечание

Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика.

Замечание

Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Замечание

Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.

Пример

Задание. Исследовать функцию   и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью   :

то есть точки 

б) с осью   : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые   и   - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

то есть прямая   - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты   :

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует:   для любого   из области определения функции;   не существует при   и   .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:   ; при   и   вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках   и   функция вогнута, а на промежутках   и   - выпукла. Так как при переходе через точку   вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.