48. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

Неопределенный интеграл. Понятие первообразной

Первообразная, основные понятия и определения

Определение

Функция   называется первообразной для функции   на промежутке  , конечном или бесконечном, если функция   дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Последнее равенство можно записать через дифференциалы:

   или   

Пример

Функция   является первообразной для функции  , так как

Больше примеров решенийРешение интегралов онлайн

Первообразная   имеет конечную производную, а, следовательно, является непрерывной функцией.

Теорема

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция   является первообразной для функции   на некотором промежутке, то и функция  , где   - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции   на рассматриваемом промежутке.

Пример

Известно, что для функции   первообразной является функция  , а, следовательно, и все функции вида   также будут первообразными, так как выполняется равенство  :

Больше примеров решенийРешение интегралов онлайн

Таким образом, если функция   имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции   и   - две любые первообразные функции  , то их разность равна некоторой постоянной, то есть

Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции  , может быть представлена в виде  .

Неопределенный интеграл

Определение

Совокупность всех первообразных функции  , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции   и обозначается символом  . То есть

Знак   называется интегралом,   - подынтегральным выражением,   - подынтегральной функцией, а   - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции   называется интегрированием функции  . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

49. Основные формулы интегрирования.

Формулы интегрирования

Основные формулы интегрирования

50. Интегрирование методом замены переменной неопределенном интеграле.

Пусть  , тогда

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство   остается справедливым и в случае, когда   — промежуточный аргумент, т.е.  . Это значит, что формула   верна и при  . Таким образом,

, или  .

Итак, если   является первообразной для   на промежутке  , а   — дифференцируемая на промежутке   функция, значения которой принадлежат  , то   — первообразная для  , и, следовательно,

Теорема.  Пусть функция  определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула