Коэффициент вариации с и средние ошибки м, σ и с

Сигма определяет степень варьирования признака, степень изменчивости вариационного ряда, но при сравнении двух признаков, у которых М различно, сравнение сигм не создает правильного представления об изменчивости данных признаков. Предположим, что в одном случае σ =±1,25, М=20,68; в другом случае σ=±2, а М=38. Какой признак наиболее изменчив?

Если бы средние были приблизительно одинаковы, мы могли бы сказать, что ряд с σ = ±2 более протяженный и значит более изменчивый. Но при различных средних может оказаться, что ряд с сигмой, равной ±1,25, более изменчив.

Чтобы сравнить изменчивость этих двух рядов, нужно сигму выразить в процентном отношении к средней величине того же ряда, к которому относится сигма. Это процентное отношение σ к М и называется коэффициентом вариации. Коэффициент вариации обозначаем буквой С.

В нашем примере σ = 1,25.

В другом случае (при σ=±2):

Таким образом, ряд с большой сигмой оказался менее изменчив, чем ряд с сигмой, равной ±1,25. При помощи С мы можем сравнивать любые признаки, например вес рыбы и ее размер, выраженные в любых единицах измерения, так как С есть величина отвлеченная (процент от М). Таким образом, коэффициент вариации является мерилом относительной степени изменчивости определенного признака.

Средние ошибки м, σ и с

Необходимо указать на способы нахождения средних ошибок: средней величины (М), основного уклонения (σ), коэффициента вариации (С) и разности средних величин (M₁—М₂). Формулы ошибок первых трех величин очень просты и не требуют никаких пояснений.

Средняя ошибка М или В тексте среднюю ошибку можно обозначить ±m и ставить рядом с той величиной, к которой она относится: М±т, σ±т (для краткости пишут М_m, σ_т и т. д.).

Средняя ошибка показывает возможное колебание средней М. В нашем примере средняя величина получилась равной 20,68%. В другом случае при подобных же измерениях длины хвостового стебля воблы М может получиться иное. Предел колебания средней и определяется формулой

В данном примере

или, округляя до сотых, т_м= ±0,13,

т. е. М может быть более или менее 20,68 на 0,13.

Ошибка средней, как видно из формулы, зависит от количества наблюдений: чем больше число измеренных особей, тем ошибка меньше; она обратно пропорциональна корню квадрат ному из числа измерений. Значит, от нее зависит величина ошибки. Полученная нами величина вместе с ее средней ошибкой должна быть записана так: М ± m = 20,68 ± 0,125

или короче

М_m=20,68 ±0,125.

Средняя ошибка квадратического уклонения находится по формуле

В наших работах этой ошибке обычно придается малое значение, равно как и ошибке коэффициента вариации, которая высчитывается по формуле

Значение ошибки квадратического уклонения и ошибки коэффициента вариации то же, что и ошибки М, т. е. т определяет колебание величин, к которым ошибка относится.

Дифференция рядов

Наибольшее значение при ихтиологических работах имеет средняя ошибка разности средних величин признаков двух групп рыб. При установлении вида, подвида, расы и морфы необходимо пользоваться формулой дифференции или расхождения рядов. Многие авторы в своих статьях называют эту формулу diff. (сокращенное слово differentia):

где M₁—М₂—разность средних величин взятых рядов, а —средняя ошибка этой разности. Из выражения видим, что средняя ошибка разности средних величин равна квадратному корню из суммы квадратов средних ошибок, соответствующих данным средним величинам: т²₁ — квадрат средней ошибки M₁, a m²₂ — квадрат средней ошибки M₂.

Возьмем два вариационных ряда, определяющих отношение длины хвостового стебля к телу рыбы для воблы и для формы, близкой к вобле,— серушки (Rutilus rutilus fluviatilis).

16,5—17,5—18,5—19,5—20,5—21,5—22,5—23,5—24,5 n

— 7 9 26 38 13 6 1 100

7 31 30 17 11 3 — — 99

Перед нами две формы, которые по длине хвостового стебля резко не различаются, потому что многие варианты свойственны и той и другой группе (пример трансгрессивных рядов).

Хотя в крайних величинах расхождение и замечается; но числа, свойственные только одному ряду, очень малы: в первом ряду только 7 рыб из 100 можно бесспорно отнести к R. rutilus caspicus, а остальные 93 по этому признаку можно относить и к R. rutilus caspicus и к R. rutilus fluviatilis. Для таких случаев биометрика и дает формулу

которая обозначает отношение разности средних к средней ошибке этой разности, причем на основании теории вероятностей принято считать, что если эта разность средних больше ее средней ошибки в три раза и более, то такая разность делает различие вариационных рядов сильным, или, по довольно распространенному, но совсем не точному выражению, —- реальным.

Ч тобы не извлекать квадратного корня из можно разницу M₁—М₂ возвести в квадрат. Это иногда бывает проще выполнить, причем и число 3 (прежний показатель разницы рядов) нужно возвести так же в квадрат; тогда новый показатель разницы должен быть равным 9.

При работах по систематике рыб, если исследователь не учтет зависимости между признаками (см. ниже о корреляции) или влияющих на изменение данного признака биологических факторов, то один математический расчет по формуле:

не дает права говорить о двух различных рядах.

Возвратимся к примеру.

Для первого ряда нам известны: средняя, основное уклонение и ошибка средней:

М = 20,68

σ =±1,25

m_М=±0,12

Находим эти величины и для второго ряда, руководствуясь приемами, рассмотренными выше.

Способ уклонений

З а условную среднюю (А) берем 19,05. Отклонения ( от А)

Ч астота уклонений

Определяем основное уклонение (σ):

Способ сумм (комбинированный)

Средняя ошибка средней величины второго ряда

Отыскиваем разность средних, среднюю ошибку этой разности и определяем отношение между этой разностью и средней ошибкой:

Е сли пользоваться упомянутым выше способом, исключающим извлечение квадратного корня из то решение пойдет так

П ри первом решении (при извлечении квадратного корня из ) показатель отношения разности средних к ее ошибке выразился числом, близким к 9 (1,60:0,17=9,41); во втором случае такой же показатель выразился числом 88,89, т. е. близким к квадрату 9.

Приведенная разница показывает, что взятый признак (длина хвостового стебля) является хорошим отличительным признаком одной формы плотвы — Rut. rut. caspicus от другой Rut. rut. fluviatilis.

Когда ведут сравнение признака сразу у нескольких форм, полезно пользоваться простым и наглядным описанным мною приемом табличного выражения результатов анализа формулы (Правдин, 1925):

Пример. Сравниваем число чешуи в боковой линии пяти форм плотвы Rut. rut. typicus, Rut. rut. fluviatilis, Rut. rut. caspicus, Rut. rut. var. γ и Rut. rut. var. α (табл. 17).

В клетках таблицы указаны частные от деления разности числа чешуи в боковой линии взятых форм на ее ошибку.

Посмотрим, есть ли различие в числе чешуи Rut. rut. typicus и Rut. rut. caspicus. Клетка в пересечении горизонтальной графы с надписью Rut. rut. typicus с графой вертикальной, где подписано Rut. rut. caspicus, содержит число 3,8, показывающее, что разность в числе чешуи взятых форм превосходит ошибку более чем в 3 раза, т. е. разность существенна. Напомним, что число чешуи в боковой линии можно подсчитать безошибочно и что этот признак почти не зависит от возраста и пола плотвы, поэтому число 3 достаточно для того, чтобы различие считать -значительным. Между типичной плотвой и плотвой у различий и этом признаке нет (cliff =0,3); нет различия и между Rut. rut. var. γ и Rut. rut. var. α (diff =1,3) и т. д. Наша таблица выражает не только расхождение признаков, но и схождение, родственность их. Rut. rut. fluviatilis по числу чешуи в боковой линии дальше всего отстоит от Rut. rut. var. γ (diff.= 12,1), затем от Rut. rut. typicus (diff. = 11,8), потом от Rut. rut. var. α (diff.= 10,3) и, наконец, от Rut. rut. caspicus (diff.=8), т. е. Rut. rut. fluviatilis ближе стоит по числу чешуи в ll к Rut. rut. caspicus—форме, к которой Rut. rut. fluviatilis близка и по своему территориальному распространению. Нижняя горизонтальная графа, содержащая показатель средних величин числа чешуи в ll каждой взятой формы, дает возможность быстро узнавать, у какой формы число чешуи больше, у какой меньше. Подобными таблицами можно изобразить любые признаки любых форм.

А. В. Морозов предложил простой способ нахождения различия между отдельными пробами. Метод этот состоит в вычислении суммы различий, определения их средних (М diff.) и D сравнении их по отдельным пробам. Наглядно такой метод может быть представлен в таблице, взятой из работы Е. А. Безруковой (1939) (табл. 18).

Взяты были четыре пробы подустов (донского, волжского, камского и днепровского) по четырем счетным признакам. Найдены соответствующие расхождения (diff.) между каждой парой проб в каждом признаке, затем установлена сумма расхождении каждой пары и среднее отличие.

Таблица 18

Степень реальности различий между отдельными пробами по меристическим признакам (по Безруковой, 1939)

Название признака	Дон Волга	Дон Кама	Дон Днепр	Волга Кама	Волга Днепр	Днепр Кама
Чешуи в И ..............................	5,02	10,70	13,12	3,79	5,95	2,53
Лучей в D ...............................	1,00	0,89	2,44	1,40	1,05	2,46
Лучей в Л ...............................	0,20	2,40	2,93	2,28	2,50	4,53
Количество позвонков..........	11,76	6,38	20,94	0,20	9,18	5,33
Сумма отличий.......................	17,96	20,37	39,43	7,67	18,68	14,85
Среднее отличие (Мdiff) .......	4,50	5,09	9,86	1,92	4,67	3,71

В результате можно говорить о существенном расхождении в меристических признаках между подустом донским и камским (М_diff =5,09) и об отсутствии расхождения между волжским и камским подустами (М_diff = 1,92). Точно таким же способом можно вести сравнение проб и по пластическим признакам.

Таким образом, мы элементарно рассмотрели самые существенные случаи и способы применения вариационной статистики к работам ихтиологической систематики. Остановимся также на применении вариационной статистики к случаям, когда необходимо выяснить зависимость одного признака от другого, к случаям коррелятивной зависимости.

В этой книге мы уже говорили, что многие признаки рыб находятся между собой в прямой зависимости: при увеличении (при росте) рыбы в длину высота тела и антедорсальное расстояние увеличиваются не только в абсолютных значениях, но и в относительных. Но величина глаза, длина головы и некоторые другие части тела при росте рыбы в длину, мало увеличиваясь в абсолютных значениях, в относительных—уменьшаются, поэтому мы и говорим, что у взрослой рыбы голова относительно короче, глаз меньше. Представим, что мы имеем две группы одного и того же вида рыбы: одна группа состоит из более молодых, другая — из более взрослых рыб. Положим, мы подметили, что глаза у рыб первой группы крупнее, а тело выше, чем у второй. Можем ли мы сделать вывод, что перед нами две породы, две расы, или что одна группа рыб состоит из типичных представителей данного вида, а другая является расой этого вида? Нет, не можем, размер глаза и высота тела рыбы зависят от ее возраста. Поэтому необходимо знать, во-первых, действительно ли у взятых групп эта зависимость есть, и во-вторых, в каком направлении и в какой мере эта зависимость выражается и изменяется. На эти вопросы дают ответы коэффициент корреляции и коэффициент регрессии. Та и другая величины имеют свое научное теоретическое обоснование, но мы здесь ограничимся короткими замечаниями и дадим лишь технические приемы для вычисления названных -коэффициентов.