Коэффициент корреляции

Различают корреляцию положительную, когда с увеличением одного признака, одного свойства, увеличивается и другой признак, и отрицательную, когда с увеличением первого свойства уменьшается второе.

Пример. Желательно выяснить, есть ли корреляция между величиной глаза плотвы, описанной нами под названием Rut. rut. var. α и длиной ее тела. Для этого необходимо составить так называемую решетку или таблицу корреляции. Материалом для этой таблицы нам послужат два вариационных ряда: классовые вариации длины тела (в мм) и такие же вариации размера глаза (в % длины тела).

Длина тела, мм

81-100 101-120 121-140 141-160 161-180 181-200 201-220 221-240

16 11 5 12 10 5 2 3

241—260 261—280 281-300 п

1 2 3 70

Диаметр глаза (в % длины тела)

3,5 — 4,5 — 5,5 — 6,5 — 7,5 — 8,5 п

9 24 17 17 3 70

Эти два ряда в таком виде еще не говорят об их взаимной зависимости; удобнее изобразить эти ряды на сторонах прямоугольной сетки: на одной стороне сетки разместим классы длины тела, на другой наружной стороне — классы диаметра глаза, а в отдельных внутренних клетках этой решетки поставим, сколько особей с данным диаметром глаза относится к каждому классу длины тела (табл. 19).

Таблица 19

Диаметр глаза (в % длины тела	Длина тела, мм
	81-100	101-120	121-140	141-160	161-180	181-200	201-220	221-240	241-260	261-280	281-300	Σ
4 5 6 7 8	— — 1 12 3	— — 6 5 —	— — 5 — —	— 8 4 — —	— 9 1 — —	— 5 — — —	1 1 — — —	2 1 — — —	1 — — — —	2 — — — —	3 — — — —	9 24 17 17 3 70
Σ	16	11	5	12	10	5	2	3	1	2	3

Эта таблица наглядно показывает, что с увеличением длины тела рыбы величина глаза относительно падает—пример отрицательной корреляции.

Возьмем другой пример. Зависимость высоты тела рыбы от ее роста в длину. Корреляционная таблица этих рядов признаков будет иметь другой характер (табл. 20). Заметим, что свойство, от которого зависит другое, называется подлежащим и обозначается через х, а зависимое свойство обозначается у. Выбор из двух свойств одного

Из таблицы ясно видно, что с увеличением длины рыбы высота ее тоже увеличивается, т. е. это положительная корреляция.

Корреляционные таблицы наглядны, если они представляют: одинаковое число (и не менее 6—8) классов того и другого признака, т. е. когда корреляционная сетка близка к форме квадрата и когда число взятых особей рыб более 50 (лучше 100).

В обоих приведенных примерах корреляция есть, но какова степень корреляционной зависимости? Для этого надо найти коэффициент корреляции, который обозначается буквой г и находится по формуле

или (чаще)

Объяснение этих формул можно найти в книге проф. Ю. А. Филипченко «Изменчивость и методы ее изучения» (1929) или в любом из новейших учебников по вариационной статистике (биометрике), список которых приведен ниже. Ограничимся подробным решением конкретного примера корреляционной таблицы, приведенной нами для выяснения зависимости между длиной рыбы и диаметром глаза.

Вычисления для большей простоты нужно вести так же, как и при отыскании средней величины (М) и основного уклонения σ. Удобнее пользоваться способом уклонений от приближенной средней, причем классовый промежуток в расчет не принимается, для чего здесь пишется не обычная сигма (σ), а сигма круглая (ς).

В обоих рядах какой-либо класс (лучше средний) принимается за приближенную среднюю Л, и от нее ведутся все вычисления. Этот класс будет иметь нулевое уклонение п, и обозначается нулем (0). В ряду классов длины тела за А принимается класс 181—200, в ряду классов диаметра глаза — класс 6, вернее 5,6—6,5.

Пересекающиеся нулевые классы разбивают таблицу на четыре части (на четыре квадранта): I, II (вверху) и III и IV (внизу). В каждой клетке нужно частоту перемножить на соответствующие уклонения в том и другом ряду и для каждого квадранта найти сумму. Произведения в I и IV квадрантах получатся со знаком плюс, так как частота в каждой клетке I квадранта умножается два раза на отрицательную величину, а произведение величин с одинаковыми знаками дает плюс (в IV квадранте перемножаются положительные уклонения); произведения II и III квадрантов по такой же причине будут со знаком минус, так как в них частоты перемножаются на одно положительное и одно отрицательное уклонение. Решение примера удобнее вести так:

Общая сумма произведений уклонений на частоты во всех четырех квадрантах

Определяем b и ς в каждом ряду, значение b отождествим с известным уже нам значением b(b_х и b_y), a ς с σ, т. е. определяем простое и квадратическое уклонения от А в ряду х и в ряду у.

Получим для первого х ряда b_х:

Таким же путем находим b_y для второго (у) ряда:

ς_x определяем как σ первого ряда.

ς_x =±2,76, а ς_у —как σ второго ряда. ς_x =±l,0.

Подробное решение приведенных рядов (х и у) можно вести тем же порядком, который указан выше по способу уклонений, а здесь дадим подробное решение тех же рядов, пользуясь комбинированным способом (решетки рядов х и у см. ниже).

Решение ряда х

Заменяя буквы формулы их найденными значениями, получим

Коэффициент корреляции

Между рядами, т. е. между длиной тела плотвы и диаметром ее глаза, очень высокая отрицательная корреляция, которая выражается коэффициентом 88%. Когда корреляция имеет коэффициент около 50%, то она считается средней. Корреляция с коэффициентом 70—80% считается очень высокой, а с коэффициентом 20—30% —слабой.

Средняя ошибка коэффициента корреляции находится по формуле:

При ихтиологических работах средней ошибкой корреляционного коэффициента пользоваться нужно.

Коэффициент корреляции указывает на зависимость между двумя признаками или двумя свойствами, но не может ответить на вопрос: в каком размере происходит изменение одного признака в зависимости от другого.

На это отвечает коэффициент регрессии, причем регрессией называется соотношение изменения одного свойства с изменением другого.