3. Элементы и операции

В структуре ромба, приведенной ранее, наличие оси С₂ или плоскостей эффективно определяется с помощью соответствующей им операции симметрии - вращения или отражения, и может показаться, что нет нужды делать различия между элементом симметрии и операцией, которая ему соответствует. Тем не менее, существует важное различие между этими двумя терминами, как может быть показано при анализе элементов симметрии и их операций для структуры PCl₃ (см. рис 1.3). Здесь каждая из плоскостей симметрии различна и каждая имеет только одну легко идентифицируемую операцию. Плоскость, обозначенная как σ_v, меняет местами атомы 2 и 3, в то время как атом 1 остаётся на месте. Подобным образом двум другим плоскостям соответствуют две простые операции.

Тем не менее, единственная поворотная ось, С₃, может давать начало двум различным операциям симметрии, каждая из которых приводит к конфигурации, эквивалентной начальной позиции: вращению против часовой стрелки на 120^о (1 переходит в 2), а также вращению на 240^о (1 переходит в 3). Это две отдельные операции, обозначенные символами С₃¹ и С₃² соответственно, но ось С₃ только одна.

Подобным образом обстоит дело и с осями высших порядков, такими

Рис.1.7

как присутствующая в простом квадрате ось С₄. Она даёт начало четырём различным операциям - С₄¹, С₄² и С₄³, приводящим к повороту на 90^о, 180^о и 270^о соответственно, как показано на Рис. 1.7

Финальная стадия последовательности поворотов - поворот на 360^о, (будет обозначена как С_nⁿ), приведёт к появлению не просто эквивалентной, а идентичной начальному положению конфигурации. Такой поворот не рассматривается, как операция для оси С_n. Как уже обсуждалось, этой операции эквивалентен специальный элемент симметрии - идентичность (символ Е).

4. Совпадающие оси

При более пристальном изученииоперации C₄² на Рис.1.7 мы увидим, что эта операция соответствует повороту на 180^о, и таким образом, она идентична эффекту от поворота второго порядка относительно той же самой оси. В результате мы приходим к выводу, что существует ось С₂, совпадающая с осью С₄. По этому мы можем, по существу, исключить поворот С₄² из группы вращений, связанный с осью С₄ и вместо этого рассматривать его как операцию для оси С₂.

Подобная ситуация возникает при анализе других форм с осями симметрии С_n

Рис.1.8

высокого порядка, например, правильного шестиугольника. Здесь (Рис. 1.8) пять операций поворотов против часовой стрелки - С₆¹, С₆², С₆³, С₆⁴ и С₆⁵ переведут атом из позиции 1 в позицию 2, 3, 4, 5 и 6 соответственно. Однако, операция С₆³ эквивалентна повороту на 180^о, а С₆² и С₆⁴ приводят к повороту на 120^о и 240^o соответственно. Поэтому мы можем идентифицировать (найти) обе совпадающие с С6 оси: С₂ и С₃. Операция С₆⁶ описывается символом Е.

В результате всего вышесказанного собственные вращения (повороты), связанные с этой осью классифицируются как С₆¹, C₃¹, С₂, С₃² и С₆⁵.

1.5 Зеркально-поворотная ось: символ Sn

Рис.1.9

В порядке представления (для того, чтобы представить) вращательную эквивалентность, присущую некоторым фигурам, необходимо ввести второй тип вращательных осей симметрии – зеркально-поворотную ось. В общем виде она обозначается символом S_n, и операции, связанные с этой осью проиллюстрированны ниже. Этот элемент симметрии известен также как несобственная ось вращения.

На Рис. 1.9 (а) показаны относительные позиции атомов в B₂Cl₄. Эта молекуласодержит одну связь В-В (соединяющую атомы 5 и 6) и четыре эквивалентных связи атомов бора с атомами хлора в положениях 1-4. Наиболее наглядно эту структуру можно представить в виде квадратной призмы, как показано на рисунке. Ось С₂, проходящая вдоль связи В-В, связывает атомы хлора в позициях 1 и 2 с находящимися в позициях 3 и 4 соответственно. Тем не менее, позиции всех четырёх атомов хлора связаны между собой посредством нового элемента симметрии. Этот элемент способен перемещать атом хора из позиции 1 последовательно по схеме 1-2-3-4-1. Элемент симметрии, проявляющий данное свойство - это зеркально-поворотная ось S₄, которая также лежит вдоль связи В-В.

Как следует из названия, последовательность действий для оси S₄ состоит из двух стадий. Первая стадия - это поворот на 90^o в соответствии с которым, как и при операции С₄¹, каждый атом переносится в промежуточное положение, показанное на Рис. 1.9 (b). Этот поворот сопровождается затем отражением в плоскости, перпендикулярной связи В-В (рис 1.9 (с)). Этот второй шаг затрагивает и атомы бора.

Стоит обратить внимание, что эта перпендикулярная плоскость не обязательно должна реально присутствовать как элемент симметрии в молекуле.

В результате двустадийная операция S₄¹ переведёт атом в позиции 1 в позицию 2, а родственные операции S₄² и S₄³ переместят его из позиции 1 в позиции 3 и 4 соответственно, причём каждая стадия включает поворот на 90^o с последующим отражением. Однако, если в молекуле присутствует ось S₄, то всегда есть и ось С₂, совпадающая с ней, и операцию S₄² относят к повороту С₂, так же как и С₄². Для зеркально-поворотных осей S_n с n2 всегда существуют совпадающие с ними обычные поворотные оси того же или более низкого порядка.

Ось S₁, по сути, включает в себя только отражение и таким образом эквивалентна плоскости, а ось S₂ соответствует следующему элементу симметрии – центру симметрии.