2.4 Понятие о представлениях

В приведенных выше таблицах умножения для D₂ и C_2v групп отдельные операции симметрии встречались в виде символов, таких как E, C₂ (z) и т.д., однако, таблицы умножения останутся правильными, если вместо использования этих символов мы заменим их на матрицы, которые мы использовали ранее для представления различных операций симметрии.

Тот факт, что мы можем использовать группу матриц для того, чтобы представить операции симметрии лежит в основе общего понятия о представлении как о наборе матриц, которые могут быть расположены в соответствии с операциями симметрии в группе и которые подчиняется тем же условиям, что и элементы таблицы умножения.

В то же время, матрицы, которые определяют судьбу точки P (X,Y,Z) в ранее приведенном примере не уникальны в этой своей способности и не являются простейшим набором матриц, который ведёт себя подобным образом.

Рис. 2.7, на котором показаны элементы симметрии точечной группы C_2v можно

Рис. 2.7

использовать для изучения влияния различных операций симметрии на единичный вектор х₁. Идентичность Е и операция σ (xz) оставят этот вектор без изменений, а σ (yz) и C₂ (z) опменяют его направление на противоположное, что может быть выражено как:

Е (х₁)  (х₁), C₂ (z) (х₁)  - (х₁)

σ (xz) (х₁)  (х₁), σ (yz) (х₁)  - (х₁).

Далее, мы можем представить коэффициенты с правой стороны каждого из этих выражений в виде 1 х 1 матрицы (+1), (-1), (+1) и (-1), которая представляют соответствующие операции симметрии подобно тому, как матрица 3 х 3 описывает перемещения точки P (X,Y,Z).

Эти числа также подчиняются правилам, представленным в таблице умножения C_2v, как мы можем увмидеть если операции симметрии в группе C_2v будут заменены на соответствующие коэффициенты., т.е.

Е= +1

C2 (z)= -1

, σv (xz)= +1

σv' (yz)= -1

С2v	E	C2(z)	v(xz)	v(yz)
E	1	-1	1	-1
C2(z)	-1	1	-1	1
v(xz)	1	-1	1	-1
v(yz)	-1	1	-1	1

Эти матрицы1 х 1 также составляют представление, что может быть представлено как

Рис. 2.8

E	C2(z)	v(xz)	v(yz)
1	-1	1	-1

(обычно знак + игнорируют).

Подобным образом, если мы рассмотрим влияние различных операций симметрии на векторы y₁ и z₁, мы добавим ещё два представления. Для y₁ мы получаем (Рис. 2.8):

Е (y₁)  (y₁), C₂ (z) (y₁)  - (y₁)

σ (xz) (y₁) - (y₁), σ_v' (yz) (y₁)  (y₁)

В результате получается такое представление:

E	C2(z)	v(xz)	v(yz)
1	-1	-1	1

а для z₁ мы получаем (Рис. 2.9) следующее.

Рис. 2.9

E	C2(z)	v(xz)	v(yz)
1	1	1	1

Оба этих представления также подчиняются правилу таблиц умножения.