Определение моментов инерции сечения относительно центральных осей и

Номер элемента	Наименование элемента	Площадь элемента , см2	Моменты инерции относительно собственных центральных осей и			Координаты центра тяжести в осях и
			, см4	, см4	, см4	, см	, см
1	Уголок	10,67	48,16	48,16	28,19	-6,95	11,03
2	Швеллер	26,70	2110,00	151,00	0	-2,72	5,01
3	Полоса	36,00	12,00	972,00	0	4,07	-6,99
	Все сечение	73,37

Продолжение табл. 3.7

Наименование элемента	"Переносные" моменты инерции, см4			Моменты инерции относительно центральных осей и , см4
Уголок	515,39	1298,12	-817,95	1346,28	563,55	-789,76
Швеллер	197,54	670,17	-363,85	2780,17	348,54	-363,85
Полоса	596,34	1758,96	-1024,17	1770,96	1568,34	-1024,17
Все сечение				5897,41	2480,43	-2177,78

После округления вычисленных значений моментов инерции до трех значащих цифр, окончательно, получим

см⁴; см⁴; см⁴.

3. Определяем положение главных центральных осей инерции u и v.

Угол наклона главных центральных осей u и v к центральным осям и соответственно определяем из следующей формулы:

_.

Отсюда находим, что и .

Откладываем положительное значение угла от оси против хода часовой стрелки и проводим главные центральные оси u и v (см. рис. 3.10).

Ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет меньший угол с той из центральных осей или , относительно которой осевой момент больше. Поскольку см⁴ больше, чем см⁴, ось u является осью относительно которой момент инерции сечения максимален, то есть ось u – ось max. Соответственно, ось v является осью min.

4. Вычисляем значения главных центральных моментов инерции и для заданного поперечного сечения.

Значения главных центральных моментов инерции всей фигуры определяются по формуле

.

Тогда

см⁴;

см⁴; см⁴.

Контролем правильности последних вычислений может служить следующее условие:

.

Имеем

, .

____________________

3.6. Прямой поперечный изгиб

Задача 3.6. Для двух заданных схем балок (рис. 3.11) требуется:

• построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов ;

• подобрать из условия прочности по нормальным напряжениям ( кН/см²) балку круглого поперечного сечения для схемы a и балку двутаврового поперечного сечения для схемы б;

• проверить прочность подобранных балок по касательным напряжениям ( кН/см²).

Данные взять из табл. 3.8.

Таблица 3.8

Исходные данные к задаче 3.6

Буквы алфавита	Номер схемы (рис. 3.11)	l, м				M, кН·м	P, кН	q, кН/м
А, П	1	3	0,2	0,6	0,2	8	5	10
Б, Р	2	4	0,3	0,5	0,3	7	6	11
В, С	3	5	0,4	0,4	0,3	6	7	12
Г, Т	4	6	0,5	0,3	0,2	5	8	13
Д, У	5	3	0,6	0,7	0,2	4	9	14
Е, Ф	6	4	0,7	0,5	0,3	8	10	9
Ж, Х	7	5	0,8	0,4	0,6	7	5	10
З, Ц	8	6	0,2	0,6	0,3	6	6	11
И, Ч	9	3	0,3	0,5	0,4	5	7	12
К, Ш	0	4	0,4	0,4	0,2	4	8	8
Л, Щ	1	5	0,5	0,3	0,4	5	2	9
М, Э	2	6	0,6	0,7	0,5	4	3	10
Н, Ю	3	3	0,7	0,3	0,4	3	4	11
О, Я	4	4	0,8	0,6	0,3	2	5	12

Пример 3.6.1. Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см² и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см². Размеры балки м; м; м.

Р ис. 3.11

Рис. 3.12

Решение.

1. Определяем опорные реакции.

Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.

Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:

.

Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.

Из первого уравнения находим момент в заделке :

кН·м.

Из второго уравнения – вертикальную реакцию :

кН.

Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.

2. Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов .

В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.

Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.

Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому

кН.

Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому

кН·м.

Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому

кН; кН·м.

Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем

кН;

кН·м.

Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда

кН;

кН·м.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).

Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.

3. Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

,

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:

.

Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: кН·см.

Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле

см.

Принимаем мм. Тогда

кН/см² кН/см².

«Перенапряжение» составляет

,

что допускается.

4. Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям.

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле

,

где – площадь поперечного сечения.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно кН. Тогда

кН/см² кН/см²,

то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.

Пример 3.6.2. Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см² и допускаемом касательном н апряжении кН/см². Пролет балки м.

Рис. 3.13

Решение.

1. Определяем опорные реакции.

Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .

Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:

; .

Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.

Тогда

кН;

;

кН.

Делаем проверку: .

Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:

,

то есть верно.

2. Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов .

Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.

Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН.

Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому

.

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому

кН;

кН·м.

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 3. Закроем правую часть. Получим

кН;

кН·м.

Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда

кН;

кН·м.

Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН;

кН·м.

То есть все верно.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

кН;

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).

Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение ( ). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.

Перерезывающая сила

.

Отсюда

м.

Экстремальное значение изгибающего момента в сечении 7 равно:

кН·м.

3. Определяем требуемый момент сопротивления балки из условия прочности по нормальным напряжениям.

Согласно эпюре , максимальный по алгебраической величине изгибающий момент возникает в третьем поперечном сечении балки: кН·см. Тогда

см³.

По сортаменту (см. прил. 1, табл. П1.3) подбираем двутавр № 30а, имеющий см³.

4. Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям.

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении двутавровой балки, вычисляются по формуле

.

По сортаменту (см. табл. П1.3) для выбранного нами двутавра определяем, что статический момент половины сечения относительно нейтральной оси см³, момент инерции относительно нейтральной оси см⁴, а толщина стенки см.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы кН. Тогда

кН/см² кН/см²,

то есть условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

______________________