3.2. Расчет статически неопределимых систем при растяжении и сжатии

Задача 3.2. Горизонтальный абсолютно жесткий на изгиб брус, нагруженный силой P, опирается на шарнирно неподвижную опору и поддерживается двумя упругими стержнями, прикрепленными к нему и к основаниям с помощью шарниров. Один из упругих стержней стальной ( кН/см²; кН/см²), а другой медный ( кН/см²; кН/см²) (рис. 3.3). Требуется определить усилия и напряжения, возникающие в стержнях, выразив их через силу P , а также найти допускаемую нагрузку . Данные взять из табл. 3.2.

Таблица 3.2

Исходные данные к задаче 3.2

Буквы алфавита	Номер схемы (рис. 3.3)	Fст, см2	Fм, см2	lст, м	lм, м	a, м	b, м	c, м
А, П	1	1,0	2,0	1,0	1,0	1,0	1,0	0,5
Б, Р	2	1,0	2,0	1,0	0,8	1,0	0,8	0,6
В, С	3	2,0	4,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,2
Г, Т	4	3,0	5,0	1,6	1,4	1,6	1,4	1,0
Д, У	5	4,0	6,0	1,8	1,4	1,8	1,4	1,0
Е, Ф	6	2,0	4,0	1,2	1,2	1,2	1,2	0,6
Ж, Х	1	2,0	3,0	1,2	1,0	1,2	1,0	0,8
З, Ц	2	3,0	4,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,4
И, Ч	3	4,0	5,0	1,8	1,6	1,8	1,6	1,2
К, Ш	4	5,0	6,0	2,0	1,6	2,0	1,6	1,2
Л, Щ	5	3,0	4,0	1,4	1,4	1,4	1,4	0,7
М, Э	6	3,0	5,0	1,4	1,0	1,4	1,0	0,8
Н, Ю	1	4,0	5,0	1,2	1,2	1,2	1,2	1,6
О, Я	2	5,0	7,0	2,0	1,8	2,0	1,8	1,4

Рис. 3.3

Пример 3.2. Для статически неопределимой системы, изображенной на рис. 3.4, а ( см²; см²; м; м; м; м, м), требуется определить усилия и напряжения в стальном ( кН/см²; кН/см²) и в медном ( кН/см²; кН/см²) стержнях, выразив их через силу P, а также найти допускаемую нагрузку .

Рис. 3.4

Решение.

1. Находим усилия и напряжения, возникающие в стержнях.

Рассечем стержни и изобразим систему в деформированном состоянии (рис. 3.4, б). Под действием силы P абсолютно жесткий на изгиб брус повернется на некоторый малый угол, оставаясь прямолинейным. Поскольку угол поворота абсолютно жесткого на изгиб бруса мал, можно предположить, что его точки В и С будут перемещаться не по дуге окружности, а по вертикали вниз. Деформированное положение системы показано на рис. 3.4, б наклонной прямой линией АС₁. Очевидно, что оба стержня, поддерживающие брус, растянутся. Поэтому внутренние усилия и , возникающие в поперечных сечениях этих стержней, направим от сечения. Удлинение медного стержня равно отрезку , а стального – отрезку .

Для плоской системы параллельных сил мы имеем два независимых уравнения статики. Неизвестных же у нас три: , и . Следовательно, заданная система является один раз статически неопределимой.

Чтобы исключить из дальнейшего рассмотрения реакцию , возникающую в шарнире A, составим следующее уравнение равновесия:

. (3.1)

В него входят две неизвестные и , поэтому для их определения (то есть для раскрытия статической неопределимости) нам необходимо составить еще одно, дополнительное, уравнение.

Очевидно, что удлинения стержней и связаны между собой. Из подобия треугольников ABB₁ и AСС₁ следует, что

.

Или, учитывая закон Гука,

. (3.2)

Полученное нами дополнительное уравнение (3.2), связывающее деформации стержней, называется уравнением совместности деформаций.

Подставив в (3.1) и (3.2) исходные данные задачи и выполнив несложные преобразования, получим следующую систему уравнений относительно неизвестных внутренних усилий и :

Отсюда находим, что усилия в стержнях равны:

.

Тогда напряжения

.

2. Определяем допускаемую нагрузку .

Из условия прочности медного стержня

кН/см²

находим, что

кН.

Из условия прочности стального стержня

кН/см²

следует, что

кН.

Принимая меньшее из найденных выше двух значений, находим, что допускаемая нагрузка для заданной системы равна кН.

___________________