Тема 8.2. Коливальний рух. Вільні та вимушені коливання. ( 2 год.)

Мета: розкрити поняття коливального руху , пояснити виникнення коливань математичного маятника; розвивати індивідуальні здібності , навички міжособистісного спілкування; творчу активність.

План.

1 Коливальний рух.

2 Гармонічні коливання.

3 Коливання математичного маятника.

4 Перетворення енергії в коливальному процесі.

5 Вимушені коливання. Резонанс.

6 Поширення коливань у пружному середовищі. Хвилі.

Вивчення нового матеріалу.

Коливальний рух. У своєму житті ми досить часто спостерігаємо коливальні рухи тіл або систем тіл. Наприклад, від вітру коливаються віти дерев, морські хвилі є коливаннями води, коливається автомобіль на ресорах під час руху, коливається маятник годинника тощо. Можна зробити висновок, що коливальний рух широко розповсюджений і в природі, і в техніці.

Коливальним називають рух, в якому характеристики, що його описують, періодично повторюються.

Для наочності розглянемо коливальний рух на прикладі двох маятників – ниткового і пружинного ( рис. 1).

Нитковий маятник ( рис.1а) уявляє собою кульку, прикріплену до тонкої легкої нитки. Якщо цю кульку зсунути вбік від положення рівноваги та відпустити, то вона почне коливатися, тобто здійснювати коливальні рухи, періодично проходячи через положення рівноваги.

Рис.1

а б

На рис. 1б зображений пружинний маятник. Він уявляє собою тягарець, прикріплений до пружини, здатний коливатися під дією сили пружності.

Основними характеристиками коливальної системи є амплітуда, період та частота коливань.

Амплітуда коливань – це найбільше зміщення тіла від положення рівноваги. Амплітуда коливань в системі СІ вимірюється в одиницях довжини – метрах.

[ А ] = м.

Період коливань – проміжок часу, за який система здійснює одне повне коливання.

[ Т ] = с.

Частота коливань – це кількість коливань, яку система здійснює за одиницю часу (1с).

[ ν ] = Гц.

Одиниця вимірювання частоти в СІ названа герцем (Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894).

Частота та період коливань пов’язані обернено пропорційною залежністю:

Т= 1/ν , ν = 1/Т ( 44 ).

Описуючи коливальні процеси користуються також поняттям циклічної, або колової частоти ω. Вона пов’язана із звичайною частотою і періодом коливань співвідношеннями:

ω = 2π/Т = 2πν

Циклічна частота – це кількість коливань, здійснюваних системою за 2π секунд.

[ ω ] = рад/с.

Гармонічні коливання. Гармонічні коливання посідають особливе місце серед усіх різновидів коливань, оскільки це єдиний тип коливань, форма яких не спотворюється під час проходження через будь-яке однорідне середовище.

Гармонічними називають коливання, які здійснюються за законом синуса або косинуса.

Залежність координати тіла, яке здійснює гармонічні коливання має вигляд:

х (t) = Аsin(ωt + φ) (1)

де х – значення координати на момент часу t, А – амплітуда коливань, ω – колова частота, φ – початкова фаза коливань, (ωt + φ) – повна фаза коливань. Для гармонічних коливань А, ω, φ – сталі величини. Формулу (1) називають рівнянням коливань.

Вільні коливання. Гармонічна система звичайно має одне положення, в якому може перебувати скільки завгодно довго, якщо вона надана самій собі. Це положення називають рівновагою.

Система, яка виведена з положення рівноваги і надана самій собі, здійснює власні (вільні) коливання. З часом енергія такої системи буде зменшуватися через існування сили тертя, а коливання будуть згасати. Тож, власні коливання є згасаючими.

Системи тіл, які здатні здійснювати вільні коливання, називають коливальними системами.

Вільними називають коливання, здійснювані завдяки первісно наданій енергії за відсутності зовнішніх впливів..

Умовами виникнення вільних коливань є:

• виникнення сили, що повертає систему в положення стійкої рівноваги після того, як її вивели з цього стану; (рис. 2)

• відсутність тертя в системі.

Рис. 2

Коливання математичного маятника. Математичний маятник є фізичною моделлю.

Математичним називають маятник, у якого маса тягарця набагато більша за масу нитки, а довжина нитки набагато більша за розміри тягарця.

Вільні коливання описуються рівняннями однакового вигляду (підпорядковуються одним й тим самим законам) незалежно від фізичної природи сил, що спричиняють ці коливання.

Скористаємося рис. 2 для отримання рівняння коливань. Згідно другого закону Ньютона (F = ma ) та закону Гука ( F_пр = - kx) отримаємо:

х '' = -kx/m,

де х '' – прискорення (друга похідна від координати х).

Для математичного маятника таке рівняння має вигляд:

s'' = gs/l.

Розв’язанням таких рівнянь є вираз:

x = x_mcosω_ot ( або x = x_msinω_ot ) (47).

Тобто координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом косинуса або синуса, а отже ці коливання є гармонічними.

У рівнянні x_m – амплітуда коливання, ω_o – власна циклічна частота коливань. Величина, що стоїть під знаком cos або sin, називається фазою коливань.

Циклічна частота та період вільних гармонічних коливань визначаються властивостями системи. Так, для коливань тіла, прикріпленого до пружини, справедливі співвідношення:

ω_o = √k/m ; T = 2π√m/k

де m – маса тягаря, k – жорсткість пружини.

Для математичного маятника виконуються рівності:

ω_o = √lg/l ; T = 2π√l/g

де l – довжина нитки.

Перетворення енергії в коливальному процесі.

У процесі коливань відбувається перехід потенціальної енергії W_р у кінетичну W_к та навпаки.

У положенні максимального відхилення від стану рівноваги потенціальна енергія максимальна, а кінетична дорівнює нулю. Під час повертання тіла до положення рівноваги швидкість коливного тіла зростає а разом з нею зростає кінетична енергія, досягаючи максимуму в положенні рівноваги. Потенціальна ж енергія в цій точці дорівнює нулю. Подальший рух відбувається зі зменшенням швидкості, яка досягає нуля на другому максимумі зміщення. Потенціальна енергія в цій точці також набуває максимального значення. Повна енергія коливань залишається незмінною і у будь-який момент коливань вона дорівнює сумі кінетичної і потенціальної енергій:

W = W_p + W_k = kx²/2 + mʋ²/2 = kx_m²/2 = mʋ_m²/2

Де x_m = А – амплітуда коливань, ʋ_m – максимальна швидкість тіла ( у положенні рівноваги ).

Таким чином, можна стверджувати, що повна енергія коливань пропорційна квадрату амплітуди коливань:

W = kA²/2

Коефіцієнт k у пружинному маятнику уявляє собою жорсткість пружини. Для математичного маятника його роль виконує співвідношення mg/l, тому повну енергію математичного маятника можна обчислити за формулою:

W = mgA²/2l

Вимушені коливання

Вивчаючи вільні коливання, ми наголосили на тому, що в реальній коливальній системі вони з часом згасають. Під час здійснення вільних коливань первісно надана системі енергія буде зменшуватися через сили тертя. Це призведе до зменшення з часом амплітуди коливань. Для того, щоб отримати незгасаючі коливання, потрібно діяти на систему періодичною силою ззовні. Таким чином вона буде здійснювати так звані вимушені коливання.

Коливання, які відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили, називають вимушеними коливаннями. Такі коливання не згасають з часом. Вони відбуваються доти, доки діє змушувальна сила.

Прикладами вимушених коливань є трясіння автомобіля, що рухається нерівною дорогою: вібрації кормової частини судна, пов’язані з роботою гребного гвинта: рух гойдалки, яку хтось періодично підштовхує.

Кожна коливальна система має свою власну частоту коливань ω_о, яка залежить від її властивостей ( для пружинного маятника – від маси тягаря та жорсткості пружини, для математичного маятника - від довжини нитки). Тому результат зовнішнього впливу буде залежати від його частоти. Сумарна амплітуда коливань може як збільшуватися, так і зменшуватися в залежності від співвідношення між частотою зовнішньої сили та власної частоти коливань.

Наприклад, після початку розкачування гойдалки ( вона є коливальною системою) амплітуда вимушених коливань зростатиме, тобто амплітуда кожного наступного коливання буде більшою, ніж попереднього (якщо розкачувати гойдалку в такт з її власною частотою). Збільшення амплітуди припиниться тоді, коли втрата енергії на поборення сил тертя дорівнюватиме енергії, отриманої гойдалкою ззовні за рахунок роботи змушувальної сили. Коли амплітуда та частота вимушених коливань припинять змінюватись, кажуть, що коливання встановились.

Частота встановлених вимушених коливань дорівнює частоті змушувальної сили.

Резонанс. Цікавою властивістю вимушених коливань є те, що їх амплітуда залежить від частоти зміни зовнішньої сили.

Явище резонансу полягає у різкому зростанні амплітуди вимушених коливань за умови, коли частота змушувальної сили співпадає з частотою власних коливань системи(ω = ω_о).

Для демонстрації явища резонансу можна скористуватися коливальною системою, зображеною на рис.3. Вона уявляє собою пружинний маятник, прикріплений до кривошипа. При рівномірному обертанні ручки на тягарець через пружину передаватиметься дія сили, що періодично ( з частотою обертання ручки) змінюється.. Ця сила змусить тягарець

здійснювати вимушені коливання.

Рис.3

Обертаючи ручку кривошипа зі зростаючою частотою, можна побачити, що амплітуда коливань тягарця спочатку буде зростати, поки не досягне максимально значення, а при подальшому збільшенні почне зменшуватися. Дуже швидке обертання ручки залишить тягарець майже нерухомим: через власну інертність пружинний маятник, не встигаючи додержуватись змін змушувальної сили, тремтітиме на місці.

Зміна амплітуди коливань в залежності від частоти при одній і тій самій амплітуди зовнішньої сили, але пери різних коефіцієнтах тертя µ зображена на рис.4, де кривій 1 відповідає мінімальне значення µ, а кривій 3 – максимальне.

Рис.4

З рисунку 4 видно, що про резонанс варто говорити, якщо згасання вільних коливань у системі невелике. Інакше амплітуда вимушених коливань при ω = ω_о мало відрізняється від амплітуди коливань інших частот.

Явище резонансу може відігравати як позитивну, так і негативну роль. Так, у 1750 році біля міста Анжера у Франції через ланцюговий міст довжиною 102 метри крокував в ногу загін солдатів. Частота їх кроків збіглася з частотою вільних коливань моста. Через це розмахи коливань моста різко зросла (настав резонанс), ланцюги обірвалися. Міст впав у річку. Така сама доля спіткала підвісний міст біля Манчестера в Англії у 1830 році та у 1906 році - Єгипетський міст у Петербурзі ( по ньому проходив кавалерійський ескадрон).

Тепер для запобігання подібним випадкам військовим частинам під час переходу через міст наказують «збити ногу», тобто йти не стройовим, а вільним кроком. Якщо ж через міст проїжджає потяг, то, щоб запобігти резонансу, він проходить його або на повільному ході,або, навпаки на максимальній швидкості.

Явище резонансу зустрічається не тільки на суші, але й на морі, я навіть у повітрі. Так, наприклад, при деяких частотах гребного валу в резонанс входили цілі кораблі. А на початку розвитку авіації деякі авіаційні двигуни викликали такі сильні резонансні коливання частин літака, що він руйнувався у повітрі.

Резонанс має і свої позитивні можливості. Так, саме резонанс є одним з важливіших процесів, який використовують під час проектування звукових пристроїв, більшість з яких містять резонатор ( струни та корпус скрипки, гітари, віолончелі тощо; трубка у флейти, корпус у барабанів).

Подальші дослідження явища резонансу дають можливість розробляти нові методи оцінки та корекції функціонального стану органів та тканей людини. Ці методи побудовані на збудженні в органах резонансних механічних коливань і визначенні їх пружності та частоти резонансу. Було встановлено, що вплив на м’які тканини резонансною вібрацією сприяє ліквідації посттравматичних синдромів, а ефективність впливу можна контролювати за частотою резонансу.

Поширення коливань у пружному середовищі. Хвилі.

Багато разів у своєму житті ми спостерігали, як коливається висока трава в степу під дією вітру, поширюються коливання води у морі. Якщо кинути на поверхню води камінчик, то по воді від нього підуть кола. Дивлячись на такі явища ми говоримо, що то біжить хвиля. А що ж саме «біжить»?

У всіх наведених явищах джерелом хвиль є коливання. Коливання, що виникли в одному місці ( наприклад, коливання мотузки на рис. 5), передаються до інших частинок.

Тобто, поширення коливань від точки до точки, від частинки до частинки, називають хвилею.

Рис.5

Давайте розглянемо, як утворюється хвиля, взявши за приклад модель у вигляді ланцюжка, що складається з маленьких кульок ( точок), кожна з яких має масу m ( рис.39). Між кожною парою кульок діє сила пружності ( ніби – то між кульками є маленькі пружинки).

Якщо точку 1 підняти вгору і відпустити, то пружинка між точками 1 і 2 розтягнеться, виникне сила пружності, яка діятиме не тільки на точку 1, але й на точку 2. Це змусить коливатися і точку 2. Процес повториться тепер між точками 2 і 3. Оскільки всі кульки мають однакову масу, а пружинки – однакову жорсткість, то всі кульки будуть коливатися ( кожна навколо свого положення рівноваги) з однаковими періодами та однаковими амплітудами, тільки не одночасно.

Рис. 6

Довжина хвилі. Припустимо, що до моменту часу, коли точка 1 пройде шлях від положення рівноваги до найвищого положення ( на це витратиться чверть періоду коливань), почнуть коливання точки 2 і 3 (рис.39). Точки, що знаходяться з правого боку від 2 і 3 точки, ще не рухаються – до них ще не дійшла «черга». Коли т очка 1 повернеться у положення рівноваги, почнуть свої коливання точки 4-6 тощо.

Через проміжок часу, що дорівнює періоду коливань, кулька 1 завершить своє перше коливання. На деякій відстані від точки 1 знаходиться точка 13, яка « запізнюється» з початком коливань рівно на один період. Ця точка почне своє перше коливання в той момент, коли точка 1 почне друге коливання. Позначимо відстань, на яку поширюється коливання за час Т, літерою λ. Називається така відстань довжиною хвилі.

Таким чином будь-які точки, відстань між якими становить λ, 2λ, 3λ, 4λ тощо, будуть одночасно рухатися вгору, проходити положення рівноваги, рухатися донизу, завершувати чергове коливання та починати наступне.

Довжиною хвилі називають відстань між двома найближчими точками у хвилі, які здійснюють коливання в однаковій фазі.

Звісно, що реальні тіла мають не таку просту структуру, але вони складаються з окремих частинок, тому хвилі в них реально існують.

Швидкість хвилі. Хвиля уявляє собою поширення коливань у просторі. Тому можна говорити про швидкість цього поширення. Цю швидкість називають швидкістю хвилі. Розглядаючи модель поширення коливань, ми побачили, що за час періоду коливань Т вони поширюються на відстань λ, тобто на довжину хвилі.

λ = ʋТ (2)

З попереднього знайомства с коливальним рухом вам відомо, що період та частота коливань пов’язані обернено пропорційною залежністю, тому формулу (2) можна записати у вигляді:

ʋ = λν

Швидкість хвилі дорівнює добутку частоти коливань у хвилі на її довжину.

Види хвиль. Малюнок 6 допоміг уявити поширення коливань у тілі. Ми бачили, що коливання точок відбувалися у вертикальному напрямку, а поширення коливань – у горизонтальному.

Хвилі, які поширюються у напрямку, перпендикулярному до напрямку коливань частинок у хвилі, називають поперечними.

Але хвилю можна створити і іншим способом, якщо першу кульку відвести не вгору або донизу, а у правий чи в лівий бік (рис.7).

Така дія теж змусить її коливатися, але тепер коливання будуть передаватися вдовж ланцюжка, утворюючи хвилю.

Рис.7

Хвилі, в яких коливання відбуваються вздовж тієї ж прямої, що і її поширення, називають поздовжніми.

Коли у ланцюжку виникає поперечна хвиля ( рис.7), то на ньому утворюються горбочки і западинки. Відстань між сусідніми горбочками така сама, як між сусідніми западинками – довжина хвилі. Якщо ж у цьому ж ланцюжку виникає поздовжня хвиля (рис.40), то ланцюжок залишається прямим, але в ньому утворюються згущення та розрідження. Відстань між сусідніми згущеннями та сусідніми розрідженнями також дорівнює довжині хвилі. Тобто, вздовж поперечної хвилі переміщуються горбочки та западинки, а вздовж поздовжньої – згущення та розрідження.

Ви вже звернули увагу, що для виникнення хвилі у речовині потрібна її деформація, оскільки без неї з’явиться сила пружності.

Для виникнення поздовжньої хвилі необхідна деформація розтягування або стискання. Така деформація можлива у твердому, рідкому та газоподібному стані речовини. Тому поздовжні хвилі поширюються у будь-якому середовищі.

Для виникнення ж поперечної хвилі необхідна деформація іншого виду – деформація зсуву (рис. 8). Такий вид деформації можливий тільки у твердих тілах.

Рис. 8

Тому поперечні хвилі можуть виникати та поширюватися тільки у твердих середовищах.

Графік хвилі. Графік коливань показує, як змінюється координата однієї коливної точки з часом. У хвилі ж коливаються усі точки, що її утворюють, тому графік хвилі відображає залежність координат усіх точок хвилі від їх місця у хвилі (рис.9).

Вздовж осі ординат відкладаються значення відхилення х кожної точки від її положення рівноваги, а вздовж осі абсцис – відстань тієї чи іншої точки від джерела хвилі.

Хвилі та енергія. Вивчаючи коливальних рух, ви дізналися про те, що з коливаннями пов’язана енергія. Значення цієї енергії пропорційне квадрату амплітуди коливань. Тепер вам уже відомо, що хвиля уявляє собою поширення коливань у просторі, тому разом з коливаннями хвилею переноситься і енергія. Носії ж енергії – коливні частинки, з хвилею не переносяться.

Таким чином, головною властивістю хвиль є те, що вони переносять енергію, але не переносять речовину.

Запитання для самоперевірки:

1. Який рух називають коливальним?

2. Умови виникнення вільних коливань.

3. Що називають математичним маятником?

4. Зв’язок між періодом і частотою коливань.

5. Чому вільні коливання є згасаючими?

6. Які перетворення енергії відбуваються під час коливань?

7. В якому положенні кінетична енергія коливального тіла має максимальне значення?

8. В якому положенні коливального тіла потенціальна енергія має максимальне значення?

9. Від чого залежить повна енергія коливань?

10. За якою формулою можна визначити повну енергії коливань у будь-який момент часу?

11. Що називають резонансом?

12. Наведіть приклади позитивного прояву резонансу.

13. Наведіть приклади негативного впливу резонансу.

14. Що називають хвилею?