Тема 10.1. Коливальний контур. Виникнення електромагнітних коливань у коливальному контурі. (4 год.)

Мета: з’ясувати механізм виникнення вільних електричних коливань й енергетичних перетворень в коливальному контурі, пояснити процеси, що відбуваються у контурі, створити їх математичну модель; розвивати вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки, працювати з науковою літературою; виховувати інтерес до предмету.

План.

1. Вільні та вимушені електричні коливання.

2. Коливальний контур.

3. Аналогія між механічними та електричними коливаннями.

4. Вільні коливання в контурі.

5. Електричний резонанс.

Вивчення нового матеріалу.

Вільні та вимушені електричні коливання. Електричні коливання було відкрито деяким чином випадково. Після винаходу лейденської банки (першого конденсатора) навчилися надавати їй великого заряду за допомогою електростатичної машини. Після замикання об кладок лейденської банки за допомогою дротяної котушки виявили, що сталеві спиці всередині котушки намагнічуються. Дивного в цьому, на перший погляд, нічого не було: електричний струм і повинен був намагнічувати сталеве осердя котушки. Дивовижним було те, що неможливо було передбачити, який полюс осердя буде північним, а який південним. Багатократно повторюючи дослід за однакових умов отримували різні результати. Не одразу зрозуміли, що під час розрядки конденсатора виникають коливання. За час повної розрядки конденсатор встигає багато разів перезарядитися, і так само багато разів струм змінює свій напрямок. Через це осердя також багатократно змінює положення магнітних полюсів.

Періодичні або майже періодичні зміни заряду, сили струму та напруги називають електричними коливаннями.

Отримати електричні коливання майже так само просто, як і примушувати тіло коливатися, прикріпивши його до пружини. Але спостерігати електричні коливання вже не так просто, оскільки ми безпосередньо не бачимо ні перезарядки конденсатора, ні струму в котушці. До того ж коливання відбуваються з дуже великою частотою. Коливання, які виникають після зарядки конденсатора та замикання його на котушку називають вільними. Зарядка конденсатора еквівалентна відхиленню маятника від положення рівноваги. Така дія виводить систему з стану рівноваги. З часом ( цей час становить невеликі частини секунди ) вільні електричні коливання згасають. Первинно надана енергія виділяється у вигляді тепла на котушці.

Неважко отримати в електричному колі також вимушені електричні коливання. Такі коливання з’являються за наявності у колі зовнішньої періодичної електрорушійної сили. Змінна ЕРС виникає у дротяній рамці з декількох витків під час її обертання в однорідному магнітному полі ( рис.1).

При цьому магнітний потік, який перетинає рамку, періодично змінюється. У відповідності з законом електромагнітної індукції періодично змінюється і ЕРС індукції. Природа ЕРС у цьому випадку магнітна: на електрони, що рухаються разом з рамкою, з боку магнітного поля діє сила Лоренца. Вона викликає переміщення електронів вздовж провідників. Під час замикання кола крізь гальванометр піде змінний струм, і стрілка почне

коливатися навколо положення рівноваги.

Рис. 1

Коливальний контур. Найпростішою системою, в якій можуть відбуватися вільні електричні коливання, складається з конденсатора і котушки, приєднаної до об кладок конденсатора ( рис. 2). Така система називається коливальним контуром.

Розглянемо, чому в контурі виникають коливання. Зарядимо конденсатор, приєднавши його на деякий час до батареї за допомогою перемикача Пр ( рис. 3а). Конденсатор отримає енергію:

W_p = q²_m / 2C,

Рис. 2

де q_m – заряд конденсатора, а С – його електроємність. Між обкладинками конденсатора виникне різниця потенціалів U_m.

Надалі переводимо перемикач у положення 2 ( рис.3б ). Конденсатор почне розряджуватися, і в колі з’явиться струм. Сила струму не одразу набере максимального значення, а буде збільшуватися поступово.

Це пояснюється явищем

а б самоіндукції.

Рис. 3 Протягом розрядки конденсатора енергія його електричного поля зменшується, але одночасно зростає енергія магнітного поля струму, яка визначається за формулою:

W_м = Li² /2

де i – сила струму, L – індуктивність котушки. В той момент, коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля стане дорівнювати нулю. В той же час енергія магнітного поля струму згідно з законом збереження енергії буде максимальною. Це означає, що в цей момент сила струму набуває максимального значення I_m.

Незважаючи на те, що різниця потенціалів на кінцівках котушки дорівнює тепер нулю, електричний струм не зникає одразу. Цьому знову перешкоджає явище самоіндукції. Струм спадає поступово, а в цей час відбувається перезарядка конденсатора. Коли сила струму сягає нуля, енергія магнітного поля також дорівнює нулю, а енергія електричного поля конденсатора знову набере максимального значення.

Після цього конденсатор знову буде перезаряджатися, і система повернеться у вихідне положення. Якщо б через нагрівання провідників не було втрат енергії, то процес продовжувався б скільки завгодно довго. Коливання були б незгасаючими. Через проміжки часу, що дорівнюють періоду коливань, стан системи повторювався б.

Та в дійсності втрати енергії подолати неможливо, і з часом коливання згаснуть.

Аналогія між механічними та електричними коливаннями. Електричні коливання в контурі подібні до вільних механічних коливань, наприклад, коливань кульки, прикріпленої до пружини. Подібними є процеси періодичної зміни величин ( механічних і електричних). Це пояснюється існуючою аналогією в умовах, які породжують механічні та електричні коливання. Повернення до положення рівноваги кульки на пружині обумовлюється силою пружності F_x, пропорційною зміщенню кульки від положення рівноваги. Коефіцієнтом пропорційності є жорсткість пружини k. Розрядка конденсатора ( поява струму) обумовлена напругою U між пластинами конденсатора, яка пропорційна заряду q. Коефіцієнтом пропорційності є величина 1/С, обернена ємності, тому що U = q/C.

Подібно до того, як через інертність кулька лише поступово збільшує свою швидкість під дією сили, і ця швидкість після закінчення дії сили не спадає одразу до нуля, електричний струм у котушці через явище самоіндукції збільшується під дією напруги поступово і не зникає одразу, коли ця напруга зменшується до нуля. Індуктивність контуру L грає таку ж роль, що і маса тягаря m у механіці.

Взаємну відповідність між механічними та електричними величинами ілюструється таблицею.

Механічні величини	Електричні величини
Координата, x Швидкість, ʋ Прискорення, ax = ʋIx Маса, m Жорсткість пружини, k Потенціальна енергія, kx2 /2 Кінетична енергія, mʋ2 /2	Заряд, q Сила струму, i Швидкість зміни сили струму, iI Індуктивність, L Величині, обернена до ємності, 1/C Енергія електричного поля, q2 /2C Енергія магнітного поля, Li2 /2

Вільні коливання в контурі.

Формула Томсона. Базуючись на аналогії між вільними механічними та електричними коливаннями, можна скласти формулу для розрахунку періоду та частоти вільних електричних коливань. Дійсно, якщо у формулі для циклічної частоти власних коливань тягаря на пружині ω_о = √k/m величина k аналогічна 1/С, а m - індуктивності L, то частота вільних електричних коливань дорівнює:

ω_о = √ 1/ LC

Для періоду вільних коливань в контурі можна записати:

T = 2π/ ω_о = 2π√LC (1)

Формула (1) називається формулою Томсона на честь англійського фізика, який вперше її записав.

Рівняння коливань у контурі. Розглянемо коливальний контур,опором якого R можна знехтувати. Рівняння, що описує вільні електричні коливання в контурі, можна отримати за допомогою закону збереження енергії.

Повна електромагнітна енергія у будь-який момент часу дорівнює сумі енергій магнітного та електричного полів:

W = Li²/2 + q²/2C

Ця енергія не змінюється з часом, якщо опір контуру дорівнює нулю. Швидкість зміни енергії магнітного поля по модулю дорівнює модулю швидкості зміни енергії електричного поля ( коли енергія магнітного поля зростає, енергія електричного поля зменшується).

Гармонічні коливання заряду та струму. Подібно до того, як координата під час механічних коливань змінюється за гармонічним законом

x = X_m cos ω_o t,

заряд конденсатора змінюється з часом за таким же законом:

q = q_m cosω_o t

де q_m – амплітуда коливань заряду.

Сила струму також здійснює гармонічні коливання:

i = q^I = - q_m sin ω_o t = I_m cos (ω_o t + π/2)

де I_m = q_m ω_o – амплітуда коливань сили струму. Коливання сили струму зміщені за фазою на π/2 відносно коливань заряду подібно до того, як коливання швидкості під час руху кульки, прикріпленої до пружини, випереджають на π/2 коливання координати.

Коливання напруги на конденсаторі відбуваються в одній фазі з коливаннями заряду, оскільки U = q/C, де С – стала для конденсатора величина.

Електричний резонанс. Явище резонансу полягає в тому, що амплітуда усталених вимушених коливань сягає найбільшого значення, коли частота змушувальної сили дорівнює власній частоті коливальної системи. Якщо опір R в коливальному контурі малий, то, по аналогії з механічною коливальною системою з малим коефіцієнтом тертя µ, в ньому можливий цілком чіткий резонанс ( рис. 4).

Сила струму під час вимушених коливань в контурі сягне максимального значення, коли частота вимушених коливань ( частота прикладеної до контуру змінної напруги) зрівняється з власною частотою електричного коливального контуру:

ω = ω_о = 1/ √ LC

Рис. 4

Резонансом в електричному коливальному контурі називають явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при спів падінні частот зовнішньої змінної напруги з власною частотою коливального контуру.

Запитання для самоперевірки:

1. Що називають електричними коливаннями?

2. Вільні електричні коливання.

3. Вимушені електричні коливання.

4. Коливальний контур.

5. Розрахунок енергії зарядженого конденсатора.

6. Розрахунок енергії магнітного поля струму.

7. Яку роль грає явище самоіндукції в електричних коливаннях?

8. Чому вільні електричні коливання з часом згасають?

9. Яка аналогія існує між процесами та величинами в механічних та електричних коливаннях?

10. Запишіть формулу Томсона для розрахунку циклічної частоти вільних коливань у коливальному контурі.

11. Формула Томсона для періоду коливань у контурі.

12. Рівняння коливань заряду в коливальному контурі.

13. Як відбуваються коливання напруги і сили струму в коливальному контурі.

14. У чому полягає явище електричного резонансу?