Глава 5. Работа и энергия при вращательном движении. Законы сохранения.

5.1. Работа внешних сил при повороте тела на угол :

Если , то работа

5.2 Кинетическая энергия вращающегося тела:

.

5.3 Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела, – скорость центра инерции тела, – кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

5.4 Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением:

5.5 Закон сохранения момента импульса:

а) в общем виде или

где – момент импульса системы тел, – момент импульса тела номером , входящего в состав системы;

б) для двух тел ,

где – моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия, – те же величины после взаимодействия;

в) для одного тела, момент инерции которого может меняться

,

где – начальное и конечное значения момента инерции, – начальная и конечная угловые скорости тела.

5.6 Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения. Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

Таблица 5.1 Аналогия поступательного и вращательного движений.

Динамика

Поступательное движение	Вращательное движение

Примеры решения задач

Пример 1.

Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определите: 1) момент сил М торможения; 2) момент инерции J вентилятора.

Дано Решение

N = 60 об/мин = 10 об/с, N = 50 об/мин, A = 31,4 Дж, B = 2 рад/с2	Работа сил торможения связана с моментом сил и изменением кинетической энергии вентилятора следующими соотношениями: ; ,
1) M – ? 2) J – ?

где – угол поворота, – число оборотов, – момент инерции, а и – начальная и конечная угловые скорости вентилятора. В нашем случае а . Тогда работа:

.

Из выражения для работы находим момент сил торможения М и момент инерции вентилятора:

; .

Подставим числовые значения и определим М и :

;

Ответ: 1) М = 0,1 Н·м; 2)

Пример 2

Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5 кг м², вращаясь равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с = 240 об/мин до = 120 об/мин. Определите:

1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А.

Дано Решение

J = 1,5 кг· м2, t = 1 мин = 60 с, n0 = 240 об/мин = 4 об/с, n1 = 120 об/мин = 2 об/с,	При равнозамедленном движении угловое ускорение равно: , где и – начальная и конечная угловые скорости вращения диска, а – время движения.
1) ε –? 2) М – ? 3) А – ?

Так как циклическая частота и обычная частота связаны соотношением , получаем:

.

Согласно основному закону динамики вращательного движения тормозящий момент равен:

,

где – момент инерции диска.

Применяя теорему о связи работы и энергии, получим:

.

Подставляем числовые значения и находим:

;

;

.

Ответ: 1) ; 2) ; 3)

Пример 3

Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же

материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой

скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара

меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Дано Решение

	Кинетическая энергия тела, участвующего одновременно в двух движениях, складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движений:
– ?

.

При движении без проскальзывания угловая и линейная скорости связаны соотношением:

.

Учитывая, что моменты инерции шара и цилиндра соответственно равны: и ,

для кинетических энергий этих тел получим следующие выражения:

–

для сплошного шара и

–

для сплошного цилиндра. Тогда отношение кинетических энергий будет равно:

.

Ответ:

Пример 4

Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определите выделившееся при ударе количество теплоты.

Дано Решение

m = 0,5 кг, 1,4 м/с, 1 м/с	Кинетические энергии катящегося цилиндра до удара и после удара (см. решение предыдущей задачи) равны:
Q – ?

где – угловая скорость вращения. Она связана с линейной скоростью соотношением:

.

Учитывая связь между угловой и линейной скоростью и учитывая, что момент инерции полого цилиндра равен

для и получим следующие выражения:

, .

Очевидно, что количество теплоты, которое выделилось при ударе, равно разности кинетических энергий цилиндра:

.

Итак,

.

Подставляя числовые значения, получим:

.

Ответ: Q = 0,48 Дж.

Пример 5

Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 22. Найти длину наклонной плоскости l, если его скорость в конце наклонной плоскости равна 7 м/с, а коэффициент трения равен 0,2.

Дано Решение

, м/с,
–?

Увеличение скорости цилиндра происходит за счет перехода его потенциальной энергии в кинетическую. На высоте h цилиндр обладал потенцальной энергией

При скатывании цилиндра вниз потенциальная энергия частично расходуется на работу по преодолению силы трения и переходит в кинетическую энергию, которая складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.

Работа по преодолению силы трения на пути l определяется по формуле где  сила трения. Сила трения равна:

где  сила нормального давления тела на плоскость, а  коэффициент трения. Тогда работа

Кинетическая энергия в конце пути

где  момент инерции цилиндра, радиус цилиндра,  угловая скорость вращения:

, .

Произведя подстановку, получим:

Запишем закон сохранения энергии

следовательно,

Решая равенство относительно , получим:

(м).

_Ответ:

Пример 6

На однородный цилиндрический вал радиусом см, момент инерции которого , намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой кг. До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

Дано Решение

, ,
1) 2) 3)