Глава 3. Работа и энергия при поступательном движении. Законы сохранения Основные формулы

3.1 Механическая работа.

Элементарная работа силы

где  угол между направлением силы и перемещением .

Работа переменной силы:

где  проекция вектора силы на перемещение ;  модуль перемещения, равный элементарному пути; r₁ и r₂  координаты начальной и конечной точек пути.

Работа постоянной силы:

или

где  угол между направлением силы и перемещением . В случае прямолинейного движения и работа

3.2 Мощность.

Средняя мощность за время

Мгновенная мощность:

или

где  элементарная работа, совершенная за время dt.

3.3 Кинетическая энергия точки (или тела, движущегося поступательно):

или

3.4 Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением:

или

где  потенциальная энергия тела;  единичные векторы. В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией,

3.5 Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту h, много меньшую радиуса Земли (h<<R):

3.6 Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины):

где x– абсолютная деформация, k  коэффициент упругости.

3.7 Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r друг от друга:

3.8 Закон изменения полной механической энергии.

где  работа неконсервативных сил.

3.9 Закон сохранения энергии в механике:

если на систему действуют только консервативные силы или

3.10 Работа, совершаемая внешними силами, действующими на тело, и изменение кинетической энергии тела связаны соотношением (теорема о связи работы и энергии):

3.11 Закон сохранения импульса замкнутой системы:

или

где n – число материальных точек (или тел), входящих в рассматриваемую систему.

Если система не является замкнутой, но при этом проекция равнодействующей внешних сил на некоторое направление, например на ось Ох, равна нулю то будет оставаться постоянной проекция импульса системы на это направление:

3.12 Применение законов сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров.

Скорость абсолютно неупругих шаров после удара:

Скорости абсолютно упругих шаров после удара:

где m₁ и m₂– массы шаров, и – скорости шаров до и после удара соответственно.

Работа деформации шаров при ударе абсолютно неупругих шаров:

где и – кинетические энергии соударяющихся шаров,  изменение кинетической энергии шаров в результате удара,  общая кинетическая энергия шаров после удара.

Примеры решения задач

Пример 1

Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние сдвинется лодка, если масса человека 60 кг, масса лодки 120 кг, длина лодки 3 м. Сопротивлением воды пренебречь.

Дано Решение

г = кг, м
–?

Рассмотрим систему лодка–человек. Если пренебречь сопротивлением воды и учесть, что сила Архимеда равна силе тяжести, то данную систему можно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса (количество движения). До взаимодействия импульс данной системы равен нулю.

В течение времени взаимодействия (времени движения человека вдоль лодки) импульс системы относительно берега равен:

где и  скорости человека и лодки относительно берега.

По закону сохранения импульса:

(3.1)

Если человек относительно лодки перемещается со скоростью то относительно берега его скорость будет равна

(3.2)

Если за время человек дошел до конца лодки, то его перемещение относительно лодки Пусть лодка за это время получила перемещение Тогда

(3.3)

Подставляя (3.2), (3.3), в (3.1), получим:

Отсюда

Ответ: лодка сместилась на 1 м в сторону, противоположную оси Х, то есть противоположную движению человека.

Пример 2

Тело массой m = 5 кг поднимают с ускорением a = 2 м/с². Определите работу силы в течение первых пяти секунд.

Дано Решение

m = 5 кг, а = 2 м/ , t = 5 c
А–?

На тело действуют две силы: сила тяжести и сила , с которой тянут тело. Запишем второй закон Ньютона :

.

Спроектируем это уравнение на ось

.

Отсюда определяем силу

.

Работа постоянная силы равна:

где – высота, на которую поднимают тело. При равноускоренном движении из состояния покоя Тогда для работы получим следующее выражение:

.

Подставляем числовые значения и определяем :

.

Ответ: 1,48 кДж.

Пример 3

Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с высоты = 80 см и отскакивает от него на высоту = 72 cм. Определите коэффициент восстановления материала шарика.

Дано Решение

= 80 см= 0,8м, = 72 cм=0,72м

Коэффициент восстановления материала шарика

,

_где – скорость, с которой шарик падает на пол, – скорость, с которой он отскакивает от пола.

Запишем закон сохранения полной механической энергии для первого и второго положения шариков:

, .

Тогда и .

Подставляем числовые значения для , и находим :

.

Ответ: = 0,95.

Пример 4

Снаряд массой = 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость = 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой = 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью = 100 м/с. Определите скорость второго осколка (меньшего).

Дано Решение

m= 5 кг , = 300м/с, m1 = 3 кг , = 100 м/с
– ?

Запишем закон сохранения импульса. При разрыве в верхней точке проекции снаряд имеет только горизонтальную скорость, равную . Суммарный импульс снаряда:

Спроектируем данное уравнение на ось :

.

Учтем, что масса второго осколка:

тогда его скорость будет равна:

.

Подставляем числовые значения и находим:

.

Ответ: второй осколок полетел в направлении снаряда со скоростью

= 900 м/с.

Пример 5

Два тела движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Первое тело массой кг движется со скоростью м/с, второе тело массой кг  со скоростью м/с. Найти количество теплоты , выделившееся при абсолютно неупругом ударе этих тел.

Дано Решение

кг, м/с, кг, м/с.
–?

После абсолютно неупругого удара тела будут двигаться как единое целое с массой и импульсом . По закону сохранения импульса при столкновении тел импульс систем до и после взаимодействия остаётся постоянным:

или .

Согласно условию задачи тогда

и

Подставляем числовые данные и находим

При абсолютно неупругом ударе полная механическая системы тел не сохраняется часть её переходит во внутреннюю энергию, то есть тепло :

_{Проведём вычисление:}

Ответ: .

Пример 6

Гиря массой m = 10 кг падает с высоты h = 0,5 м на подставку, скрепленную с пружиной жесткостью k = 30 Н/см. Определите при этом смещение x пружины.

Дано Решение

m = 10 кг, h = 0,5 м, k = 30 Н/см = 3·103 Н/м
х– ?

Проведем нулевой уровень 0–0' для отсчета потенциальной энергии через нижнее положение гири.

Запишем закон сохранения полной механической энергии для системы гиря–пружина. В состоянии 1 гиря обладает только потенциальной энергией . Потенциальная энергия пружины равна нулю. Во втором состоянии потенциальная энергия гири и ее кинетическая энергия равны 0, а потенциальная энергия сжатой пружины равна .

Итак, закон сохранения энергии системы примет вид:

.

Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение:

.

Преобразуем его к виду:

.

Решение этого уравнения приводит к выражению:

.

Подставляем числовые значения и находим :

.

Ответ: 21,6 см.

Пример 7

Тело, массой , начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу , которую изменяют с высотой подъема по закону , где – положительная постоянная. Найти работу этой силы на первой половине пути подъема.

Дано Решение

,
–?

Работа переменной силы определяется выражением

В нашем случае , , ,

Итак,

Ответ: A =

Пример 8

Тело массой 1 кг, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити, начинает движение из положения, в котором нить натянута горизонтально. Найти силу натяжения нити в момент времени, когда тело проходит положение равновесия (нить вертикальна.)

Дано Решение

кг,
–?

В момент прохождения положения равновесия на тело действуют две силы – сила притяжения к Земле и сила натяжения . При этом обе силы направлены вертикально. Запишем второй закон Ньютона:

.

Результирующая сила направлена к центру вращения, т.е. является центростремительной. В этом случае – центростремительное ускорение, – длина нити. Проектируя данное уравнение на вертикальную ось, имеем:

или .

Неизвестная скорость может быть найдена с помощью закона сохранения энергии. При движении из точки в точку происходит переход потенциальной энергии в кинетическую:

Отсюда получаем, что

Таким образом, сила натяжения будет равна:

.

Проведем расчет:

(H).

Ответ: Н.

Пример 9

Какую скорость надо сообщить ракете, чтобы она не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.

Дано Решение

км,	С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии ,

где –массы ракеты; – масса Земли; – гравитационная постоянная; – скорость ракеты относительно Земли в начальный момент; – скорость ракеты в рассматриваемый момент; – расстояние до ракеты от центра Земли в начальный момент; – расстояние до ракеты от центра Земли в рассматриваемый момент; – потенциал поля тяготения Земли на расстоянии от центра Земли.

Сокращая обе части равенства на и преобразовывая, получим:

.

Ракета не вернется на Землю, если ее скорость при . В этом случае

. (3.4)

Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли

,

откуда:

,

где м/с² – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Подставляя значения в равенство (3.4), получим:

или .

Считая, что ракета набирает нужную скорость уже вблизи поверхности Земли, и полагая радиус Земли равным 6400км, находим: .

Скорость, необходимая для преодоления поля тяготения Земли, называется второй космической скоростью или параболической скоростью.

Ответ: км/с.

Пример 10

Пуля массой = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью

км/с, попадает в баллистический маятник массой кг и застревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.

Дано Решение

0,5 км/с= 500 м/с, М= 6 кг

До столкновения импульс системы пуля–маятник определяется только импульсом пули , так как маятник покоится. После абсолютно неупругого столкновения пуля и маятник начинают двигаться как единое целое общей массой со скоростью .

Запишем закон сохранения импульса:

или в проекции на направление движения пули

.

Отсюда определяем

Проведем нулевой уровень для отсчета потенциальной энергии через нижнее положение маятника

Полная механическая энергия Е системы пуля–маятник в начале совместного движения после удара состоит только из кинетический энергии, равной

.

В процессе движения маятника с пулей после того, как пуля застряла в нем, шар поднимется на некоторую высоту и остановится. На высоте полная механическая энергия системы пуля–маятник состоит только

из потенциальной энергии:

.

Запишем закон сохранения полной мханической энергии ( ):

Отсюда выразим

Подставляем числовые значении:

Ответ: = 7,9 см.

Пример 11

Пуля массой m = 15 г, летящая горизонтально со скоростью

200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой M = 1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения φ маятника.

Дано Решение

200 м/с, l = 1 м, M = 1,5 кг
φ – ?

Решение этой задачи аналогично решению предыдущей задачи. Сначала записываем закон сохранения импульса системы пуля–шар и определяем их общую скорость после абсолютно неупругого удара:

, .

Затем используем закон сохранения полной механической энергии системы и определяем высоту, на которую поднимется шар:

.

Отсюда

Из рисунка определяем :

.

Подставляем в данное выражение и находим, что

– и .

Итак, .

Ответ: φ=36,9°.

Пример 12

Стальной шарик массой 20г, падая с высоты 1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту 81 см. Найти: 1) импульс силы, полученный плитой; 2) количество тепла, выделившееся при ударе (рис.?)

Дано Решение

г = , м, см = 0,81 м
–? –?

По второму закону Ньютона , – изменение импульса (количества движения) тела; – импульс силы, действующей на тело.

Закон Ньютона, записанный в такой форме, позволяет найти импульс силы, действующей на тело, несмотря на то, что мы ничего не знаем ни о характере взаимодействия, ни о времени взаимодействия.

В данном случае равенство лучше записать так:

.

Выбрав за положительное направление скорости направление оси , перейдем от векторного равенства к скалярному:

или

.

Из этого равенства следует, что проекция импульса силы, действующей на шарик со стороны плиты, положительная. Значит, сам импульс силы, приложенной к шарику, направлен вверх. По третьему закону Ньютона импульс силы, полученный плитой, такой же по величине и направлен в противоположную сторону (т.е. вниз). Величины скоростей и найдем из условий выполнения закона сохранения механической энергии в промежутках времени от начала падения с высоты до момента удара и от начала подъема после удара до подъема на высоту

, .

Тогда,

.

Отсюда:

_{Проведем расчет:}

_{Таким образом импульс силы, полученный плитой, равен 0,17 Н∙с.}

_{В системе шарикЗемля в промежутке времени от начала падения шарика с высоты h1 до его подъема на высоту h2 действовали в момент удара шарика о плиту неупругие силы деформации. За счет работы этих сил механическая энергия системы уменьшилась:}

_{Так как в положениях I и II кинетическая энергия шарика равна нулю, то есть}

_{поэтому изменение потенциальной энергии равна работе неупругих сил:}

_{За счет работы этих сил часть энергии шарика, равная убыли его механической энергии, перешла во время взаимодействия шарика с плитой в тепло. Подставляя данные задачи, получаем:}

_{а количество выделенного тепла равно:}

Ответ:

Пример 13

Тело массой 500г, брошенное вертикально вверх с высоты 40м со скоростью 10 м/с, упало на землю со скоростью 25 м/с. Найти работу по преодолению сил сопротивления.

Дано Решение

кг, м, м/с, м/с
–?

По определению механической работой называют величину, равную изменению механической энергии тела, т.е.

, (3.5)

_где – энергия тела в конечный, а – в начальный момент времени (см. рис.). Выбрав начало отсчета потенциальной энергии в точке 0, можно записать выражения для и :

, .

Тогда в соответствии с формулой (3.5) работа равна:

или

.

Подставим числовые значения величин:

(Дж).

Ответ: Дж.

_{Пример 14}

_{Автомобиль массой m = 2 т равномерно движется в гору с уклоном 4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения μ = 0,08. Найти работу A, совершаемую двигателем автомобиля на пути S= 3 км, и мощность N развиваемую двигателем, если известно, что путь l был пройден за время t = 4 мин.}

_{Дано Решение}

1) A – ? 2) N – ?

В случае равномерного движения автомобиля его ускорение . Тогда, согласно второму закону Ньютона, в проекции на ось сила тяги двигателя:

или

, где .

Тогда

1) Работа постоянной силы F на пути S будет определяться по формуле

2) мощность двигателя, согласно определению,

Ответ: 1) , .

Пример 15

Снаряд массой 100 кг, летевший в горизонтальном направлении со скоростью 400 м/с, разрывается на две части с массами 80 кг и 20 кг. Меньшая часть стала двигаться вертикально вверх со скоростью 200 м/с. Найти величину и направление начальной скорости большего осколка.

Дано Решение

Для решения задачи будем использовать второй закон Ньютона в виде:

где изменение импульса системы тел; результирующая внешняя сила.

Так как взрыв происходит быстро , то , то есть общий импульс системы тел остаётся неизменным. Таким образом:

(3.6)

В левой части (3.6) стоит импульс снаряда до взрыва, а в правой импульс сразу после взрыва. Согласно условию задачи , тогда

или

Отсюда:

Воспользуемся рисунком и определим направление начальной скорости большого осколка:

Проведём расчёт

Ответ: ,

Задачи

61. Камень массой кг брошен вертикально вверх с начальной скоростью м/с. Построить график зависимости от расстояния кинетической , потенциальной и полной энергий камня.

62. Из орудия массой т вылетает снаряд массой кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете МДж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

63. Тело массой кг, движущееся горизонтально со скоростью м/с, догоняет второе тело массой кг и абсолютно неупруго соударяется с ним. Какую скорость получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со скоростью м/с в том же направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось со скоростью м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

64. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули г, масса шара кг. Скорость пули м/с. При каком предельном расстоянии от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?

65. Мяч, летящий со скоростью м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью м/с. Найти модуль изменения импульса мяча , если известно, что изменение его кинетической энергии Дж.

66. Трамвайный вагон массой т идет по закруглению радиусом м. Найти силу бокового давления колес на рельсы при скорости движения км/ч.

67. Снаряд массой кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью м/с, попадает в вагон с песком, масса которого т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если: а) вагон стоял неподвижно; б) вагон двигался со скоростью км/ч в том же направлении, что и снаряд; в) вагон двигался со скоростью км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?

68. Шар массой кг движется со скоростью м/с и ударяется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты , выделившееся при ударе.

69. Шар движется со скоростью м/с и нагоняет другой шар, движущийся со скоростью м/с. Каково должно быть соотношение между массами и шаров, чтобы при абсолютно упругом ударе первый шар остановился?

70. Шар массой кг движется со скоростью м/с и нагоняет шар массой кг движущийся со скоростью м/с. Считая удар центральным, найти скорости и шаров после удара, если удар: а) абсолютно неупругий; б) абсолютно упругий.

71. Шарик массой г свободно падает с высоты м на стальную плиту и подпрыгивает на высоту м. Определить импульс (по величине и направлению), сообщенный плитой шарику.

72. Какова средняя сила давления < > на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули г, а скорость пули при вылете из канала ствола м/с. Автомат делает выстрелов в минуту.

73. Определить мощность двигателя автомобиля- самосвала массой m = 40 т при его движении со скоростью км/ч, если коэффициент сопротивления движению равен .

74. Какая работа совершается при сжатии буферной пружины железнодорожного вагона на см, если для сжатия пружины на

см требуется сила кН?

75. При вертикальном подъеме тела массой кг на высоту см совершена работа Дж. С каким ускорением двигалось тело?

76. Пружинное ружье выстреливает шарик вертикально вверх на высоту см, если пружина сжата на см. Какова начальная скорость полета шарика? На какую высоту поднимется шарик, если эту пружину сжать см?

77. Шар массой кг, двигаясь со скоростью м/с, догоняет другой шар массой кг, двигающийся по тому же направлению со скоростью м/с. Происходит упругое центральное столкновение. Найдите скорости и первого и второго шаров после удара.

78. Тело массой кг скользит с наклонной плоскости высотой см и длиной м. Коэффициент трения тела на всем пути . Определите: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки.

79. Пуля массой г, летящая горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной м и массой кг и застревает в нем. Маятник в результате этого отклонился на угол . Определите скорость пули.

80. Шарик из некоторого материала, падая вертикально с высоты 0,9 м, несколько раз отскакивает от пола. Определите коэффициент восстановления материала шарика при ударе о пол, если с момента падения до второго удара о пол прошло 1,3 с.