1.1. Кинематика поступательного движения Примеры решения задача

Пример 1

Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид , где А = 2 м, В = 1 м/с, С = – 0,5 м/с. Найти координату , скорость и ускорение точки в момент времени

Дано Решение

= А+Bt+Ct,3 А = 2 м , В = 1 м/с, С = – 0,5 м/с, = 2 c,	Координату найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени : = (2 + 1 · 2 – 0,5 · 23) = 0 (м). Мгновенная скорость относительно оси есть первая производная от координаты по времени:
1) – ? 2) – ? 3) – ?

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.

Определим в момент времени = 2 с

Ответ: = –5 м/c; = –6 .

Пример 2

Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид и , где . Определите

момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

Дано Решение

	Сначала найдем мгновенные скорости точек – это первые производные от координат точек по времени:
t ?

Теперь определим ускорения точек, взяв производные по времени от

Приравнивая полученные выражения для и , найдем момент

времени , когда ускорения будут равны:

или .

Отсюда находим время: .

Ответ: с.

Пример 3

Зависимость пройденного телом пути от времени t задано уравнением . Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t = 2 с после начала движения:

1)пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

Дано Решение

	1) Мгновенная скорость есть первая производная от пути по времени : . 2) Мгновенное ускорение – это первая производная от скорости по времени. .

Подставив время в выражения для пути , для скорости и ускорения , получим:

; ;

.

Ответ: 1) = 24 м; 2) = 38 м/c; 3) = 42 .

Пример 4

Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением:

A – Bt + Ct² + Dt³ (A = 6 м; B = 3 м/c; С = 2 м/c²; D = 1 м/с³). Оп-

ределить для тела в интервале времени от t₁ = 1 c до t₂ = 4 с:

1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

Дано Решение

= A – Bt + Ct2 +Dt3, A = 6 м , B = 3 м/c, С = 2 м/c2, D = 1 м/с3, ,	Подставим в выражение для пути числовые значения коэффициентов : Средняя скорость < > движения точки определяется как отношения пути , пройденного точкой за заданный интервал времени к этому интервалу:
1) < > – ? 2) < > – ?

г де и – пути, пройденные телом за время и соответ-ственно. Итак,

.

Тогда .

Среднее ускорение < > тела есть отношение приращения скорости к промежутку времени , за который это приращение произошло:

.

Для определения нужно знать мгновенную скорость . Мгновен- ная скорость – первая производная от пути по времени:

.

Далее находим скорости в моменты времени и и, наконец, среднее ускорение < >:

.

Ответ: 1) < > = 28 м/c; 2) < > = 19 .

Пример 5

Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью км/ч, а на второй половине его скорость была км/ч. Определить среднюю путевую скорость за все время движения.

Дано Решение

км/ч, км/ч,	Средняя путевая скорость определяется как путь , пройденный точкой, деленный на время ее движения :
–?

_{В данном случае}

где и – первая и вторая половины пути , а и – время прохождения велосипедистом соответственно этих расстояний. Итак,

.

Тогда

В результате получим:

Ответ:

Пример 6

Камень падает с высоты без начальной скорости. Определите среднюю путевую скорость на второй половине пути.

–?

Дано Решение

Для определения средней путевой скорости необходимо знать путь ∆S, пройденный телом, и время ∆t, за которое этот путь пройден.

В данном случае путь равен половине высоты , а время движения

где время падения камня на землю, время, за которое камень пройдет первую половину пути.

При движении без начальной скорости:

.

Итак,

Тогда искомая средняя путевая скорость будет равна:

(м/с).

Ответ: м/с.

Пример 7

Материальная точка движется прямолинейно так, что зависимость её скорости от времени дается уравнением м/с. Определить момент времени, когда скорость точки будет равна нулю. Определить также среднюю путевую скорость за это время.

Дано: Решение:

м/с
–? –?

Найдем момент времени, когда скорость обратится в ноль.

с.

Для определения средней путевой скорости необходимо найти путь, пройденный материальной точкой за 4с с начала движения, то есть с момента времени .

Есть два способа определения пути: графический и аналитический.Начнём с графического способа. Нарисуем график зависимости скорости точки от времени, который представляет собой прямую.

Площадь под этой прямой и есть путь S, пройденный материальной точкой за время t = 4 с. Площадь прямоугольного треугольника равна:

Рассмотрим второй способ определения пути. Согласно теории путь S определяется так:

В данном случае:

Найдем теперь среднюю путевую скорость:

(м).

Ответ: S = 16м, м.

Пример 8

Радиус – вектор частицы определяется выражением Найти: а) модуль перемещения тела за первые t=10 с после начала движения; б) путь S, пройденный телом за это время.

Дано Решение

, ,	Перемещение материальной точки за время равно: , где , а = 7
–? S–?

Поэтому, .

Длина вектора _равна: .

В нашем случае ; ; . Таким образом,

.

При t₂ =10 с .

Определим мгновенную скорость движущейся точки

.

Сначала найдем величину мгновенной скорости:

_{Далее определяем путь, пройденной материальной точкой. Так как ск}орость есть первая производная от пути S по времени

тогда,

В данном случае

Ответ: S = 500 .

Пример 9

Тело падает с высоты = 1 км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какой путь пройдет тело: 1) за первую секунду падения; 2) за последнюю секунду падения.

Дано Решение

= 1км = 103 м, = 0, = 1 c, = 1 c
– ? – ?

Направим ось вертикально вниз, начало оси поместим в точке O, на высоте от поверхности земли. Падение тела является равноускоренным (с ускорением свободного падения) из состояния покоя ( = 0). Таким образом, уравнение движения имеет вид:

.

Определим путь , пройденный телом за первую секунду:

.

Когда тело достигает поверхности земли , уравнение движения примет вид:

.

Откуда определяем время падения тела на землю:

.

В момент времени тело окажется в точке с координатой:

.

Тогда путь, пройденный телом за последнюю секунду, будет равен:

.

Ответ: 1) = 4,9 ; 2) = 135 .

Пример 10

Движение материальной точки в плоскости xy описывается законом x = At, y = At(1 + Bt), где A и B – положительные постоянные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точки y(x); 2) радиус–вектор точки в зависимости от времени; 3) скорость точки в зависимости от времени; 4) ускорение a точки в зависимости от времени

Дано Решение

x = At, y = At(1 + Bt)	Исключим время из уравнения для и подставим полученное выражение в уравнение для : ; .
y(x) – ? (t) – ? a(t) – ? r(t) – ?

Итак, уравнение траектории движения имеет вид:

Запишем выражение для радиуса–вектора :

.

Скорость – это первая производная от радиуса–вектора по времени:

.

Так как вектор можно представить как сумму векторов:

,

тогда , , а величина скорости:

.

Ускорение есть первая производная по времени от скорости:

.

В то же время .

Таким образом, . Модуль вектора равен:

.

Ответ: 1) 2)

3) 4)

Задачи

1. Зависимость пройденного телом пути S от времени дается уравнением S=A+Bt+Ct+Dt³, где С = 0,14 м/с² и D = 0,01 м/с³. Через какое время после начала движения тело будет иметь ускорение а = 1 м/с²? Найти среднее ускорение <а> тела за этот промежуток времени.

2. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением , где м, м/с и м/с². Найти ускорение и среднюю скорость < > тела за первую, вторую и третью секунды его движений.

3. Тело падает высоты км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какое время понадобится телу для прохождения: 1)первых 10 м пути; 2) последних 10 м пути.

4. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением ( м/с² , м/с³). Определите:

1)через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с² ; 2) среднее ускорение < > тела за этот промежуток времени.

5. Уравнения движения двух материальных точек имеют вид и , где , м/с², м/с². Определите: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения и для этого момента.

6. За пятую секунду равнозамедленного движения точка проходит

5 см и останавливается. Какой путь проходит точка за третью секунду этого движения.

7. Уравнения скорости имеют вид: (величины измерены в единицах СИ). Запишите уравнения движения и постройте графики скорости и пути от времени.

8. В последнюю секунду свободного падения тело прошло путь в двое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты падало тело.

9. Камень, брошенный вертикально вверх, упал на землю через 2 с. Определите путь и перемещение камня за 1, 1,5 и 2 с. Какую скорость приобретёт камень за эти промежутки времени? Чему равна средняя скорость перемещения камня за всё время движения.

10. Мячик брошен вертикально вверх из точки, находящийся на высоте . Определите начальную скорость мячика, время движения и скорость падения, если известно, что за время движения он пролетел путь 3 .

11. В течении времени скорость тела задаётся уравнением вида . Определить среднюю скорость за промежуток времени .

12. При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через . Принимая скорость звука , определите глубину колодца.

13. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью . Определите ускорение тела, если за время оно прошло путь и его скорость .

14. Материальная точка движется вдоль прямой так, что её ускорение линейно растёт и за первые 10 с достигает значения . Определите в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) пройденный точкой путь.

15. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением . Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

16. Точка движется в плоскости из положения с координатами со скоростью ( постоянные, орты осей и ). Определите: 1) уравнение траектории точки ; 2) форму траектории.

17. Радиус – вектор материальной точки изменяется со временем по закону , где орты осей и . Определите для момента времени : 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

18. Материальная точка движется по прямой. Уравнение её движения . Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это время.

19. Движение двух тел описывается уравнениями

, . Определите величину скоростей этих тел и момент времени, когда ускорения их будут одинаковы, а также значение ускорения в этот момент времени.

20. Материальная точка, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением, за пятую секунду движения прошла путь . Начальная скорость . Найти ускорение точки.