1.2. Криволинейное движение Примеры решения задач

Пример 1

Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом

= 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением = 0,5 см/с². Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения образует с вектором скорости угол ; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

Дано Решение

= 12,5 см, = 0,5 см/с2=5·10-3 м/с2, = 45°
– ? – ?

Полное ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории, равно геометрической сумме тангенциального и нормального ускорения, угол между которыми равен :

.

Величина полного ускорения:

.

Из рисунка видно, что:

.

Нормальное и тангенциальное ускорения определяются выражениями: , ,

где – радиус окружности, по которой движется материальная точка.

По условию задачи , тогда:

и .

Из полученной формулы для определим время :

.

Определим путь , пройденный материальной точкой за это время:

.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

.

Ответ: 1) = 5 с; 2) = 6,25 см.

Пример 2

Мяч брошен горизонтально со скоростью . Определить

нормальное a_n, тангенциальное a_τ ускорения камня, а также радиус кривизны R траектории мяча через 1с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано Решение

, с
an–? aτ–? –?

Ч

ерез с после начала движения мяч будет находиться в точке А. его скорость будет направлена по касательной к траектории и ее модуль равен:

.

Так как сопротивление воздуха не учитываем, то в направлении оси Х движение будет равномерным со скоростью

.

В направлении оси У движение равноускоренное с ускорением свободного падения Проекция скорости равна:

.

Подставим и в выражение для модуля скорости :

При t =1 c

Полное ускорение тела определяется геометрической суммой тангенциального и нормального ускорений и равно :

Найдем эти ускорения из ∆ABC:

;

.

Угол можно найти из другого треугольника ∆ADE:

Таким образом, угол α=45^○ и

Радиус кривизны найдем из выражения, определяющего нормальное ускорение:

и

Ответ: ; ; .

Пример 3

Тело брошено под углом 45^○ к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема и дальность полета, если начальная скорость тела м/с.

Дано Решение

, м/с, м/с2
–? –?

Из рисунка видно, что составляющие скорости и можно записать в виде:

Так как сопротивление воздуха не учитываем, то в направлении оси движение будет равномерным со скоростью:

.

В направлении оси движение равноускоренное с ускорением свободного падения Проекция скорости равна:

В наивысшей точке траектории и тогда . Время подъема тела на максимальную высоту определяется из этого условия:

.

Время подъема и время падения равны между собой. Поэтому время движения тела будет:

.

Таким образом, дальность полета тела будет равна: .

Наибольшая высота подъема:

(м).

Ответ: = 40,77 м, = 10,19 м.

Пример 4

Нормальное ускорение материальной точки, движущейся по окружности радиусом R=10 см, зависит от времени по закону , где А=1,6 м/с⁴. Найти угловое ускорение точки.

Дано Решение

, , А=1,6 м/с4	Угловое ускорение точки, движущейся по окружности, где – тангенциальное ускорение точки, а R–радиус окружности.
–?

Тангенциальное ускорение можно найти, продифференцировав по времени величину скорости:

.

Величину скорости найдем из нормального ускорения:

и

Итак,

,

тогда

и

Подставляем числовые значения:

(рад/с²).

Ответ: рад/с².

Пример 5

Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением рад/с². Через какое время t после начала вращения полное ускорение какой– либо точки тела будет направлено под углом к вектору скорости этой точки?

Дано Решение

рад/с2,
–?

Из рисунка видно, что

,

где – нормальное и тангенциальное ускорения соответственно:

_{При вращении с постоянным угловым ускорением из состояния покоя} угловая скорость равна:

Таким образом, .

Далее находим время t:

(c).

_Ответ: