6.3 Волны в упругой среде. Акустика. Примеры решения задач

Пример 1

В упругой среде распространяется волна со скоростью 20 м/c. Частота колебаний 2 с^-1, амплитуда 0,02 м. Определить фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии 60 м от источника в момент времени t = 4 с, и длину волны.

Дано Решение

= 20 м/c, A = 0,02 м, , l = 60 м, t = 4 с	Фаза колебаний, смещение, скорость и ускорение точки определяются с помощью уравнения бегущей волны: , где смещение точки, А– амплитуда колебаний, – фаза колебаний. Фаза колебаний в момент времени t будет равна:
- ? -?

Подставив численные значения величин, получим:

.

Смещение точки в этот момент равно:

Скорость точки найдем как первую производную от смещения по времени:

Определим величину скорости точки:

Ускорение точки найдем как первую производную от скорости по времени:

Подставив численные значения величин, получим, что ускорение а, как и смещение x, в данный момент равно нулю:

Длину волны, т.е расстояние, которое проходит волна за один период, найдем из соотношения:

Ответ: 1) 3) ; 4) м.

Пример 2

Волна распространяется по прямой со скоростью 20 м/c. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии 12 и 15 м от источника колебаний, колеблются по закону синуса с амплитудами, равными 0,1 м и с разностью фаз 135°. Найти длину волны, написать ее уравнение и найти смещение указанных точек в момент времени t = 1,2 с.

Дано Решение

= 20 м/c, l1 = 12 м, l2 = 15 м, A = 0,1 м, , t = 1,2 с	Уравнение бегущей волны имеет вид: , где смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l от источника колебания в момент времени t, А– амплитуда колебаний, – циклическая частота, T – период колебаний, – фазовая скорость волны.

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны

, колеблются с разностью фаз ; точки, находящиеся на любом расстоянии , колеблются с разностью фаз , откуда

Подставляя численные значения, получим:

(м).

Скорость волны связана с периодом колебаний Т и длиной волны соотношением , откуда

(с).

Циклическая частота

(с^-1).

Уравнение волны будет иметь вид

Смещение указанных точек будет равно

Ответ: 1) =8 м; 2)x₁ = 0; 3)x₂ = 0,07 м.

Задача 3

Волна распространяется в упругой среде со скоростью Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны равно 1м. Определить частоту колебаний.

Дано Решение

	Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми равно определяется следующим соотношением: .

Из этого выражения определяем , а затем и частоту колебаний :

; .

Таким образом, .

Ответ:

Задача 4

Скорость звука в некотором газе при нормальных условиях равна 308 м/с. Плотность газа равна . Определить отношение для данного газа.

Дано Решение

	Скорость продольных волн в газах определяется следующим выражением: где давление газа, его плотность, а показатель адиабаты.

Отсюда определяем :

Ответ: .

Задача 5

Мимо неподвижного электровоза, гудок которого даёт сигнал частотой , проезжает поезд со скоростью . Какова кажущаяся частота тона для пассажира, когда поезд приближается к электровозу? Когда удаляется от него?

Дано Решение

	Запишем выражение эффекта Доплера: поезд приближается, поезд удаляется. Итак,

Ответ: .

Задачи

141. Плоская звуковая волна имеет период мс, амплитуду мм длину волны м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние м, найти 1) смещение в момент мс; 2) скорость и ускорение для того же момента времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.

142. Две точки среды, находятся на расстоянии см друг от друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью . Период колебаний равен 0,05 с. Найти разность фаз колебаний точек.

143. Определить разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на м от источника. Частота v колебаний равна 5 Гц; волны распространяются со скоростью .

144. Определить скорость распространения волны в упругой среде, если разность колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на см , равна . Частота v колебаний равна 25 Гц.

145. Уравнение затухающих колебаний дано в виде . Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени: 0, , , и .

146. Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника 1 м.

147. Тело массой совершает затухающие колебания. В течение времени тело потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления .

148. Определить период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент затухания .

149. Найти число полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в . Логарифмический декремент затухания .

150. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания .

151. Определить логарифмический декремент затухания колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты на .

152. Период собственных колебаний пружинного маятника равен 0,5 с. В вязкой среде период того же маятника стал равным 0,56 с. Определить резонансную частоту колебаний.

153. Пружинный маятник (жёсткость пружины равна , масса груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления . Определить коэффициент затухания и резонансную амплитуду , если амплитудное значение вынуждающей силы .

154. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления . Считая затухание малым, определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда и частота собственных колебаний равна 10 Гц.

155. Звуковые колебания, имеющие частоту и амплитуду , распространяются в упругой среде. Длина волны . Найти: 1) скорость распространения волн; 2) максимальную скорость частиц среды.

156. Волна с периодом и амплитудой колебаний распространяется со скоростью . Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время .

157. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки, удалённой от источника на , в момент, когда от начала колебаний прошло время .

158. Определить скорость звука в азоте при температуре .

159. Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд. Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука ; когда удаляется, кажущаяся частота . Найти скорость электровоза и частоту звука, издаваемого сиреной.

160. Скорый поезд приближается к стоящему на путях электропоезду со скоростью . Электропоезд подает звуковой сигнал частотой . Определить кажущуюся частоту звукового сигнала, воспринимаемого машинистом скорого поезда.