Самостоятельная работа № 9

Запись утверждений, используя кванторы. Определение области

истинности предиката

Цель работы: Закрепить умения в построении математических утверждений с помощью кванторов и в определении области истинности предикаты.

Форма отчета: студенты оформляют выполненную работу в тетради для самостоятельных работ и предоставляют материал для проверки.

Задания для выполнения работы:

Выполните следующие упражнения в тетради для самостоятельных работ:

1. Записать с помощью кванторов высказывания следующих определений:

1. функция f (x) дифференцируема в точке x₀;

2. функциональная последовательность f_n (x) сходится равномерно к f (x) на (a, b);

3. точка x₀ является точкой минимума функции f (x);

4. бинарное отношение φ является антисимметричным;

5. булева функция f (x₁, x₂,…,x_n) монотонна и сохраняет 0;

2. Изобразите на координатной прямой или на координатной плоскости множества истинности следующих предикатов:

а) (х > 2)  (х < 2);

б) (х > 2)  (x < 2);

в) (х > 2) ↔ (x < 2);

г) (х  0)  (у  0);

д) (х  0) → (у  0).

3) Найдите множества истинности следующих предикатов, заданных над множеством М = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 19, 20}:

а) (х – четное число) → (х – квадрат натурального числа);

б) (х – квадрат натурального числа) → (х – четное число);

в) (х – квадрат натурального числа)  (х < 10);

г) (х > 14)  (х 4);

д) (х – нечетное число) ↔ (2 не делит х).

Список литературы:

1. Спирина М.С. Спирин В.В. Дискретная математика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. 10-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 368 с.

2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. 4-е издание – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 304 с.

3. Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ–Петербург, 2012. – 352 с.

4. Галушкина Ю.И. Конспект лекций по дискретной математике. С упражнениями и контрольными работами / Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов. 2-е издание. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 176 с.

Самостоятельная работа № 10

Метод полной математической индукции

Цель работы: Способствовать глубокому усвоению знаний о методе полной математической индукции; закрепить умения применять метод полной математической индукции к доказательству алгебраических равенств и выражений..

Форма отчета: студенты оформляют выполненную работу в тетради для самостоятельных работ и предоставляют материал для проверки.

Задания для выполнения работы:

Выполните следующие упражнения в тетради для самостоятельных работ:

1) Доказать, что при любом натуральном n:

а) число 5ⁿ – 3ⁿ + 2n делится на 4;

б) число n³ + 11n делится на 6;

в) число 7ⁿ + 3n – 1 делится на 9;

г) число 6²ⁿ + 19ⁿ – 2ⁿ⁺¹⁰ делится на 17.

2) Доказать, что при каждом натуральном n справедливо равенство:

а )

б )

в)

г)

Список литературы:

1. Спирина М.С. Спирин В.В. Дискретная математика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. 10-е издание. – М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 368 с.

2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. 4-е издание – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 304 с.

3. Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах. – СПб.: БХВ–Петербург, 2012. – 352 с.