V. Изолированные особые точки. Вычеты.

1. Нули функции.

Число называется нулем функции , если .

Теорема 1. Пусть аналитична в точке . Следующие утверждения равносильны:

1) , где аналитична в точке и ;

2) разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид

,

где ;

3) , однако .

Доказательство. . Пусть , . Так как , то разложение функции в ряд Тейлора по степеням имеет вид

, .

Тогда

.

. Пусть , .

Тогда

;

, ;

, ;

… … …

, ;

, .

. Пусть , . Тогда разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид

.

Осталось в качестве взять функцию . Теорема доказана.

Число n, участвующее в теореме, называется порядком нуля (или кратностью нуля) . Нуль порядка 1 называют также простым нулем функции. (Можно договориться считать, что если , то является нулем порядка 0.)

Теорема 2. Пусть функции и аналитичны в точке и точка является нулем порядка m для и порядка n для , , . Тогда

а) является нулем порядка для функции ;

б) при условии точка является нулем порядка для функции

Доказательство. Согласно теореме 1, , , , .

а) и , что и доказывает часть а).

б) , при этом , что и доказывает часть б).

Пример. Найти нули функции и их порядок: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) . Видно, что у функции три нуля: , , . При этом имеет порядок 3, а и – простые нули.

б) Функция обращается в нуль (как и в случае функции действительного переменного) в точках , . Так как , , то все эти нули – простые.

в) Нулями функции являются нули сомножителей и . При этом является нулем порядка 2 для первого множителя и простым нулем для второго, следовательно, – нуль порядка 3 для . Точки , , , являются (простыми) нулями лишь для второго множителя, поэтому они являются простыми нулями и для .

г) .

Видно, что является нулем порядка 3 для функции . Других нулей для функции нет: лишь в случае .

2. Изолированные особые точки. Их классификация.

Число называется изолированной особой точкой (ИОТ) функции , если дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки , кроме самой этой точки, а в точке функция не дифференцируема или не определена.

Различают три типа изолированных особых точек: устранимые особые точки, полюсы и существенно особые точки.

1) ИОТ называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел

,

однако он не совпадает с или не определено. Если положить

то функция станет аналитичной в точке и тем самым устранится особенность в этой точке; этим фактом и объясняется название особой точки.

Пример. Функция имеет единственную особую точку . Выясним ее тип.

.

Следовательно, – устранимая особая точка. Если положить

то станет аналитической на всей плоскости .

Теорема 3. ИОТ является устранимой особой точкой функции в том и только в том случае, если в разложении в ряд Лорана функции в окрестности точки присутствует лишь правильная часть.

Доказательство. Пусть – устранимая особая точка , то есть существует конечный предел . Тогда ограничена в некотором круге радиуса δ с центром в точке : для всех z, удовлетворяющих неравенству . Пусть ; согласно формуле (9) для коэффициентов ряда Лорана,

.

Если , то при . А так как не зависят от r, то это возможно лишь в случае , , что означает отсутствие главной части ряда Лорана в разложении.

Докажем обратное утверждение. Пусть ряд Лорана функции в окрестности точки содержит лишь правильную часть:

.

Тогда , то есть – устранимая особая точка, что и требовалось доказать.

2) ИОТ называется полюсом, если (или, что то же самое, ).

Пример. Для функции точка является полюсом, так как .

Теорема 4. ИОТ является полюсом для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана функции в окрестности точки содержит конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части ряда:

, .

Доказательство. Пусть – полюс, то есть . Функция аналитична в некоторой проколотой окрестности точки (то есть в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки ): . Тогда и точка является устранимой особой точкой для функции , следовательно, согласно теореме 3, допускает следующее разложение:

,

где , . Обозначим ; тогда , . Так как , то функция аналитична в некоторой окрестности точки : , поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки :

,

при этом . Отсюда получаем

.

Докажем вторую часть теоремы; пусть в разложении в ряд Лорана по степеням присутствует лишь конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части:

,

где ; то есть

.

Тогда , иначе говоря, – полюс функции . Теорема полностью доказана.

Число n, участвующее в этой теореме, называется порядком полюса. При полюс называется простым.

Из доказательства теоремы 4 вытекает

Следствие. Число является полюсом порядка n функции в том и только в том случае, если является нулем порядка n для функции

Аналогичным образом доказывается и более общее утверждение:

Теорема 5. Пусть и является нулем порядка m для и нулем порядка n для . Тогда

а) если , то является нулем порядка для функции

(то есть – устранимая особая точка для );

б) если , то является полюсом порядка для функции .

3) ИОТ называется существенно особой точкой для функции , если не существует ни конечного, ни бесконечного предела . Из доказанных выше теорем следует

Теорема 6. Число является существенно особой точкой для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана в окрестности точки содержит бесконечно много (ненулевых) слагаемых из главной части.

Пример. Найти ИОТ и определить их тип для функции: а) ; б) .

Решение. а) Единственной изолированной особой точкой является . Разложим в ряд Лорана в окрестности этой точки, используя разложение в ряд Тейлора:

Ряд Лорана содержит конечное число (ровно два) ненулевых слагаемых из главной части, следовательно, является полюсом для . Порядок полюса равен 3.

б) имеет одну ИОТ: . Разложим функцию в ряд Лорана по степеням , пользуясь известным разложением в ряд Тейлора:

Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, поэтому является существенно особой точкой.