6. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Функция называется первообразной для аналитической функции , если . Если – первообразная для аналитической функции , то также будет первообразной для . До некоторой степени верно и обратное утверждение.

Утверждение. Если и – две первообразные для функции , аналитической в связной области (D), то , где С – постоянная величина.

Доказательство. Пусть . Тогда

,

то есть , . Согласно условиям Коши-Римана, это влечет , . Все это в совокупности означает, что , , то есть .

Таким образом, совокупность всех первообразных функции , аналитической в связной области (D), имеет вид , где – некоторая (фиксированная) первообразная для , а C – постоянная величина. Эта совокупность называется неопределенным интегралом функции и обозначается :

.

Известные нам свойства неопределенного интеграла переносятся и на этот случай. Справедлива хорошо знакомая таблица интегралов:

; ; ;

; .

Пусть функция аналитична в связной области (D). Рассмотрим функцию

,

где – фиксированная точка, а z – переменная величина, . Так как интеграл не зависит от линии, соединяющей точки и z (теорема 3), то функция определена корректно. Ее можно записать в виде

.

Теорема 8. Функция является первообразной для .

Доказательство. Придадим переменному z приращение Δz. Тогда функция получит приращение , и

где t – некоторая точка отрезка, соединяющего точки z и . Отсюда

.

Теперь устремим Δz к 0. Тогда и

,

что и означает .

Теорема 9. Пусть аналитична в односвязной области (D) и – первообразная для . Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница

.

Доказательство. отличается от на постоянную величину: . Тогда

.

Учитывая, что , получим , откуда ; следовательно,

.

Пример. Вычислить , где , .

Решение. Функция является первообразной для функции . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

IV. Степенные ряды. Ряд Лорана.

1. Числовые ряды.

Числовым рядом называется выражение

, (1)

где (члены ряда) – комплексные числа. n-й частичной суммой ряда называется число . Если существует конечный предел , то говорят, что ряд (1) сходится к числу S, а само число S называется суммой ряда. Если же не существует конечного предела последовательности , то ряд называется расходящимся. Естественным образом определяются сумма числовых рядов и произведение ряда на число.

Если ряд (1) сходится, то (необходимое условие сходимости).

Если ряды и сходятся, то сходятся и ряды и , . При этом

; .

Обозначим . Тогда ; называется n-м остатком ряда. Если ряд (1) сходится, то .

Говорят, что ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд .

Утверждение 1. Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Утверждение 2 (первый признак сравнения). Пусть для любого . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда и при этом .

Утверждение 3 (второй признак сравнения). Если существует конечный предел , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Утверждение 4 (признак Даламбера). Пусть существует предел . Тогда

а) если , то ряд (1) сходится;

б) если , то ряд (1) расходится.

Утверждение 5 (признак Коши). Пусть существует предел . Тогда

а) если , то ряд (1) сходится;

б) если , то ряд (1) расходится.

Доказательства этих утверждений фактически повторяют доказательства аналогичных утверждений в случае рядов над полем .