5. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть требуется решить задачу Коши
(1)
(2)
где – кусочно-дифференцируемая функция, имеющая конечный порядок роста. Решение задачи ищется в классе функций-оригиналов.
Пусть
,
.
Применяя к обеим частям (1) преобразование
Лапласа и пользуясь свойствами этого
преобразования, получим операторное
уравнение
.
Отсюда находим
,
и,
зная
,
находим его оригинал
– решение задачи (1)-(2).
Аналогично решаются уравнения более высокого порядка.
Пример 6. Решить задачу Коши
Решение. Ищем решение задачи в виде оригинала ; пусть . Имеем:
;
;
.
Данному уравнению соответствует операторное уравнение
;
отсюда находим
.
Для нахождения разложим на сумму простейших дробей:
;
;
Таким образом,
;
.
Решение
задачи Коши с начальными условиями в
точке
,
,
сводится
к рассмотренному случаю путем замены
.
6. Формула дюамеля.
Если , – функции-оригиналы и , , то имеют место равенства (формулы Дюамеля):
Эти формулы применяют при решении задачи Коши со сложной правой частью. Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
(3)
с начальными условиями
, (4)
где – функция-оригинал, . Сначала решается уравнение
(5)
с
теми же начальными условиями (4); пусть
– решение задачи (5)-(4). Сведение уравнений
(3) и (5) к операторным приводит к равенствам
(6)
для (3) и
(7)
для
(5), где
– некоторый многочлен относительно p.
Из (6) выражаем
:
;
(8)
из
(7) находим
.
Подставляя
в (8), получим
.
Наконец, пользуясь формулой Дюамеля, находим
.
Пример 7. Решить задачу Коши
Решение. Решим вспомогательную задачу Коши
;
решение
этой задачи обозначим
;
пусть
.
Имеем:
;
;
.
Получаем операторное уравнение
,
откуда находим
.
Далее:
Решением исходной задачи является функция
7. Решение систем линейных дифференциальных уравнений.
Операционное исчисление позволяет также решать системы линейных дифференциальных уравнений.
Пример 8. Решить систему линейных дифференциальных уравнений
с начальными условиями
.
Решение.
Будем искать решение в виде функций-оригиналов
и
.
Пусть
,
.
Получим:
;
;
;
.
Системе
дифференциальных уравнений соответствует
следующая система линейных уравнений
относительно
и
:
или
Решим эту систему уравнений методом Крамера:
Отсюда находим:
