2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

Пусть – последовательность функций с общей областью определения (D). Выражение

(2)

называется функциональным рядом. Если зафиксировать значение , то ряд (2) становится числовым. Совокупность всех , для которых ряд (2) сходится, называется областью сходимости ряда. Суммы и называются соответственно n-й частичной суммой и n-м остатком ряда (2). Говорят, что ряд (2) сходится поточечно (или просто сходится) к функции на множестве (D), если для любого .

Ряд (2) называется равномерно сходящимся к функции на множестве (D), если для любого положительного числа ε существует число , такое что (то есть ) для любого .

Теорема 1 (Вейерштрасс). Пусть – последовательность положительных чисел, удовлетворяющая двум условиям: 1) для любого и любого ; 2) ряд сходится. Тогда ряд (2) сходится равномерно на множестве (D).

Доказательство. Пусть ε – произвольное положительное число. Возьмем настолько большим, чтобы для любого выполнялось неравенство . Тогда для любого и любого будет справедливо неравенство

.

Ввиду произвольности отсюда следует равномерная сходимость ряда (2).

Числовой ряд , участвующий в этой теореме, называется мажорирующим рядом или мажорантой.

Теорема 2. Если функции непрерывны и ряд (2) сходится в (D) к функции равномерно, то функция также непрерывна в (D).

Доказательство. Пусть и произвольны. Найдется такое , что для любого и любого будет выполняться неравенство . Из непрерывности следует, что существует такое , при котором как только . Тогда для любого z, удовлетворяющего неравенству и любого справедлива цепочка соотношений

что и доказывает теорему.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 ряд (2) можно интегрировать почленно вдоль любой линии (Γ), лежащей в (D):

.

Доказательство. Пусть произвольно. Ввиду равномерной сходимости ряда (2) к существует такое , что для всех и для любого . Тогда для таких n

,

где l – длина линии (Γ). А так как при , то теорема доказана.

Оказывается, равномерно сходящиеся ряды при некотором ограничении допускают и почленное дифференцирование. Приведем без доказательства следующий результат.

Теорема 4. Пусть функции аналитичны в области (D) и ряд (2) сходится к функции равномерно в (D). Тогда также аналитична в (D) и при этом

,

то есть ряд (2) можно дифференцировать почленно сколь угодно раз.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд

, (3)

где – коэффициенты (числа), а z – переменная величина.

Теорема 5 (Абель). Пусть дан степенной ряд (3). Тогда

а) если ряд (3) сходится в точке , то он будет абсолютно сходиться и в любой точке , удовлетворяющей неравенству , то есть расположенной к ближе, чем ;

б) если ряд (3) расходится в точке , то он будет расходиться и в любой точке , удовлетворяющей неравенству , то есть расположенной от дальше, чем .

Доказательство. а) Так как числовой ряд сходится, то его члены ограничены, то есть существует такое число , что для всех . Тогда

.

Так как , то ряд сходится и, по признаку сравнения, ряд сходится абсолютно. Отсюда следует абсолютная сходимость ряда .

б) Пусть ряд (3) расходится в точке и . Допустим, вопреки утверждению, что ряд сходится. Тогда, согласно уже доказанному пункту а), ряд (3) сходится в точке – противоречие. Следовательно, ряд расходится.

На самом деле в пункте а) теоремы 5 доказано больше: если ряд (3) сходится в точке , то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге при условии (для доказательства достаточно вспомнить теорему 1 о мажоранте).

Область сходимости степенного ряда (3) есть непустое множество – ряд (3) сходится по крайней мере в точке . Обозначим . Согласно теореме Абеля, ряд (3) сходится в открытом круге радиуса R с центром в точке и расходится вне этого круга. Точки окружности могут принадлежать или не принадлежать области сходимости. Этот круг называется кругом сходимости, а R – радиусом сходимости степенного ряда.

Степенной ряд можно почленно интегрировать вдоль линии внутри круга сходимости. Ряд (3) можно также почленно дифференцировать внутри круга сходимости; при дифференцировании будет получаться степенной ряд, имеющий те же круг и радиус сходимости.