4. Ряд Тейлора.
Теорема 6. Если функция аналитична в точке , то в некоторой окрестности этой точки допускает разложение в степенной ряд:
; (4)
при этом коэффициенты находятся из равенств
; (5)
(
по соглашению).
Сначала докажем лемму.
Лемма.
Если
,
то
(6)
Доказательство. Легко проверяется тождество
.
Переходя
к пределу при
,
получим требуемое. При этом ряд (6)
сходится абсолютно и равномерно в любом
замкнутом множестве из круга
.
Доказательство
теоремы 6. Пусть
аналитична в точке
.
Проведем вокруг этой точки окружность
(γ):
достаточно малого радиуса r.
Тогда, согласно интегральной формуле
Коши, для любого z
из круга
. (7)
Для справедливы равенства
Вернемся к равенству (7); воспользуемся возможностью почленного интегрирования степенного ряда:
.
Согласно формуле Коши для производных,
,
что означает
.
Степенной ряд (4), коэффициенты которого находятся по формуле (5), называется рядом Тейлора функции .
Теорема
7.
Если функция
в окрестности точки
разлагается в степенной ряд (то есть
разлагается по степеням
),
то этот ряд является рядом Тейлора
функции
.
Доказательство. Пусть наряду с равенством (4) в окрестности точки справедливо равенство
(4´)
Положив
в этом равенстве, получим
,
то есть
.
Продифференцируем ряд (4´):
;
отсюда
находим
.
Продифференцируем ряд (4´) еще раз:
;
отсюда
получаем
,
.
Продолжая этот процесс далее, убеждаемся,
что
для всех
.
Теорема 7 говорит о том, что если аналитична в точке , то эту функцию можно единственным образом разложить в степенной ряд в некоторой окрестности этой точки.
Приведем примеры разложений основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки :
1)
,
;
2)
,
(получается
из предыдущего разложения, если вместо
z
взять
);
3) ;
4)
;
5)
(Иногда функции , , определяют этими равенствами.)
Пример.
Разложить функцию
в окрестности точки
.
Решение.
Пример.
Разложить функцию
в ряд по степеням z.
Решение.
.
Пример.
Разложить функцию
в ряд по степеням
.
Решение.
при
этом
,
или
.
Пример.
Разложить функцию
в окрестности точки
.
Решение.
5. Ряд Лорана.
Теорема
8 (Лоран).
Если функция
аналитична в кольце
.
Тогда функция
в этом кольце разлагается в ряд Лорана
(8)
при
этом коэффициенты
определяются по формуле
, (9)
где (Γ) – произвольный контур, заключенный между окружностями кольца и охватывающий меньшую окружность.
Доказательство.
Пусть z
– произвольная точка кольца
.
Возьмем две окружности
и
с радиусами
и
в кольце так, чтобы
(то есть чтобы точка z
оказалась между окружностями
и
).
Функция
аналитична в кольце, образованном
окружностями
и
,
и, согласно интегральной формуле Коши,
.
Рассмотрим каждый интеграл в отдельности.
1)
Пусть
.
Тогда
Отсюда получаем
где
.
2)
Пусть
.
Тогда
Отсюда получаем
где
.
Теорема Лорана доказана (контур (Γ) в формулировке теоремы гомотопен окружностям и в доказательстве).
Ряд (8), коэффициенты которого находятся по формуле (9), называется рядом Лорана функции .
Ряд Лорана представляет собой сумму двух функциональных рядов:
.
Первое слагаемое, содержащее отрицательные степени , называется главной частью, а второе слагаемое, содержащее неотрицательные степени , – правильной частью ряда Лорана.
Отметим некоторые свойства ряда Лорана.
Свойство 1. Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом множестве, содержащемся в кольце .
Свойство 2. Ряд Лорана можно интегрировать почленно вдоль любой линии, лежащей внутри кольца .
Свойство 3. Ряд Лорана можно дифференцировать почленно в кольце .
Свойство 4. Разложение функции в ряд (8) в кольце является единственно возможным.
Пример.
Разложить функцию
в ряд Лорана в кольце: а)
;
б)
;
в)
.
Решение. Сначала представим функцию , являющуюся правильной дробью, в виде суммы простых дробей.
Таким
образом,
.
