2 Растяжение-сжатие стержней
2.1 Теоретические сведения
Под растяжением-сжатием понимают такой вид нагружения бруса, при котором в любом его поперечном сечении из шести возможных внутренних силовых факторов (см. рис. 1.1) действует только один - нормальная сила N.
На чистое растяжение-сжатие могут работать только прямолинейные брусья и только в том случае, если все действующие на брус внешние силы направлены строго по его оси.
Брус, работающий на растяжение-сжатие, называют стержнем.
Нормальная внутренняя сила в рассматриваемом поперечном сечении N – это результирующая напряжений, действующих по этому сечению.
Следовательно, это нормальные напряжения , которые при чистом растяжении-сжатии по поперечному сечению распределены равномерно, что следует из гипотезы плоских сечений:
, (2.1)
где N - внутренняя нормальная сила в рассматриваемом поперечном сечении;
А - площадь сечения.
Для нахождения силы N в каком-то конкретном поперечном сечении нужно условно перевести ее из категории внутренних в категорию внешних, для чего стержень данным сечением нужно мысленно рассечь на две части и, отбросив одну из них, рассмотреть вторую. Нормальная сила N в поперечном сечении рассматриваемой части стержня представляет собой действие на нее отброшенной части и может быть найдена как сумма всех внешних сил, действующих на отброшенную часть:
. (2.2)
Знак силы N определяют не ее направлением, а видом деформации, которую она вызывает. Принято деформацию растяжения считать положительной, а деформацию сжатия – отрицательной. Соответственно растягивающие силы N и напряжения растяжения – положительными, сжимающие силы N и напряжения сжатия – отрицательными.
Пусть требуется найти внутреннюю нормальную силу N в сечении n-n стержня, изображенного на рис. 2.1,а. Элемент dZ, выделенный у данного сечения будет находиться в равновесии только в том случае, если внутренние силы N, действующие на его боковые грани, будут обе направлены либо к граням (элемент dZ сжимается), либо от них (элемент dZ растягивается) – рис. 2.1,г. При этом при подстановке в уравнение (2.2) положительными должны считаться силы F, направленные от данного сечения, а отрицательными - направленные к сечению.
a
б
в
г
а – расчетная схема стержня; б – рассматриваемая часть стержня;
в – отброшенная часть стержня; г – варианты нагружения элемента dZ
Рисунок 2.1 – К определению внутренних нормальных сил при растяжении-сжатии
В данном случае удобно рассмотреть левую часть стержня (рис. 2.1,б), а отбросить правую (рис. 2.1,в), что позволит определить силу N без нахождения реакции в опоре стержня
.
При этом сила F2 принята положительной, так как она направлена от рассматриваемого сечения, а сила F1 – отрицательной, так как она направлена к сечению.
Согласно закону Гука абсолютное изменение длины участка стержня dz
, (2.3)
где Е - модуль упругости материала стержня при растяжении-сжатии.
Если в пределах какого-то участка стержня L N(Z)=N=const и A(Z)=A=const, абсолютное удлинение этого участка
. (2.4)
Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности такого стержня на растяжение-сжатие имеет вид
, (2.5)
где
- допускаемое нормальное напряжение
для материала стержня;
пред - предельное напряжение для материала стержня;
n - коэффициент запаса прочности (коэффициент безопасности).
Для пластичных материалов (меди, алюминия, латуни, низкоуглеродистых сталей и др.) за предельное напряжение принимают предел текучести Т; для хрупких (чугуна, высокоуглеродистых инструментальных сталей и др.) - предел прочности пр.
Коэффициент запаса прочности n зависит от многих причин: свойств материала, конкретных условий работы, соответствия нагрузок и расчетной схемы истинному нагружению, серьезности тех последствий, которые повлечет за собой разрушение, и т.д.