4.1.5 Подбор сечений балок

Для большинства встречающихся на практике длинных балок нормальные напряжения значительно выше касательных, поэтому необходимое сечение балок, как правило, находят из условия прочности по нормальным напряжениям, которое для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, имеет вид

. (4.6)

Сечение, полученное из условия прочности (4.6), проверяют по касательным напряжениям ( ). Проверка эта делается для сечения с максимальной перерезывающей силой. Для тонкостенных (тавровых, двутавровых и коробчатых) балок делается дополнительная проверка по эквивалентным напряжениям ( ) для точек стенки в месте их перехода в полку, где одновременно могут быть значительными как нормальные, так и касательные напряжения (рис. 4.7). Проверка эта делается для сечений, где одновременно действуют большие внутренние изгибающий момент и перерезывающая сила.

а – точки стенки в месте перехода её в полки

Рисунок 4.7 – Эпюры распределения σ и τ в двутавровом сечении при поперечном изгибе

В окрестности точки а (см. рис. 4.7) плоскостями, параллельными координатным, выделим элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.8). По боковым граням этого элемента будут действовать напряжения _a и _a. Согласно закону парности касательные напряжения, равные по величине _a, будут действовать также по верхней и нижней его граням. Нормальные напряжения по этим граням для поперечных сечений, взятых на достаточном удалении от внешних сил, будут равны нулю. Две грани (передняя и задняя) свободны от напряжений. Таким образом, выделенный элемент испытывает плоское напряженное состояние.

Рисунок 4.8 – К определению эквивалентных напряжений при поперечном изгибе

Для данного вида плоского напряженного состояния по III теории прочности (максимальных касательных напряжений)

; (4.7)

по IV теории прочности (энергетической)

. (4.8)

Можно считать, что в рассматриваемом случае _экв - это условное нормальное напряжение в рассматриваемой точке сечения, которое в ее окрестности создает напряженное состояние равноопасное тому, которое создают одновременно реально действующие в ней  и .

4.2 Пример расчета

Для заданной схемы балки (рис. 4.9) построить эпюры внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов. Из условия прочности балки по нормальным напряжениям подобрать круглое, прямоугольное (с отношением h/b=2) и двутавровое сечения. Для наиболее экономичного сечения произвести полную проверку балки на прочность. Материал балки – Ст. 3.

[σ]=160 МПа; [τ]=100 МПа.

4.2.1 Определение реакций опор

: ;

Н.

: ;

Н.

Проверка: : .

а

б

в

Рисунок 4.9 – Расчетная схема балки (а) и эпюры перерезывающих сил (б) и изгибающих моментов (в)

4.2.2 Построение эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов

Разобьем балку на участки. Границами участков будем считать поперечные сечения, в которых действуют сосредоточенные силы и моменты и сечения, являющиеся границей распределенной нагрузки. Пронумеруем характерные поперечные сечения, которыми будем считать сечения, расположенные бесконечно близко слева и справа от границ участков.

Будем перемещаться вдоль балки слева направо, отбрасывая левые и рассматривая правые её части.

;

;

= 0;

Нм;

= – М Нм;

Нм;

= ;

Нм.

Будем перемещаться вдоль балки справа налево, отбрасывая правые и рассматривая левые её части.

;

= 0;

Нм.

Примечание. При записи выражений для внутренних перерезывающей силы Q_y и изгибающего момента M_ux удобно:

1) Для получения Q_y в каком-то сечении i использовать уже найденное значение Q_y для предыдущего сечения , где Q - нагрузка между сечениями (i-1) и i.

2) Для M_ux можно использовать найденное значение M_ux предыдущего сечения только для смежных сечений: , где М – внешний изгибающий момент на границе сечений (i-1) и i, если он имеет место. Для сечений, отстоящих на каком то расстоянии друг от друга должны составляться свои выражения M_ux, так как относительно этих сечений одни и те же силы имеют разные плечи.

Координата Z сечения с Q_y=0

,

отсюда м.

Нм.