3.2 Пример расчета

На передаточный вал сплошного круглого постоянного поперечного сечения (рис. 3.2,a) насажены четыре шкива. Шкив С получает от двигателя внешний крутящий момент m_С . Шкивы А, В, Д входят в ременные передачи, вторые шкивы которых насажены на три вала, параллельные рассматриваемому, со стороны которых он через эти шкивы получает внешние моменты m_A, m_B, m_Д. Три из четырех указанных моментов известны по величине и направлению, четвертый – неизвестен ни по величине, ни по направлению.

m_С=2100 Нм; m_A=600 Нм; m_Д=800 Нм;

G=810⁴ МПа; [τ]=20 МПа; [θ]=0,25 .

Для заданного вала построить эпюру внутренних крутящих моментов и определить диаметр, обеспечивающий его прочность и жесткость.

a

б

Рисунок 3.2 – Расчетная схема вала и эпюра внутренних крутящих моментов М_кр.z

1) Определим внешний момент m_B, для чего используем уравнение равновесия вала (3.2). Будем смотреть на вал слева, считая положительным направление m против часовой стрелки. Искомый момент m_B предварительно направим против часовой стрелки. Моментами трения в опорах вала будем пренебрегать.

Σm_Z = m_А + m_В - m_С + m_Д = 0;

m_В = -m_А + m_С - m_Д = - 600 + 2100 - 800 = 700 Нм.

Знак искомого момента m_В получился положительным, следовательно, его направление было выбрано верно.

2) Определим внутренние крутящие моменты в поперечных сечениях участков вала, используя указанное выше правило знаков (см. стр. 14). При этом будем перемещаться вдоль вала слева направо, отбрасывая левые и рассматривая правые его части.

При 0  Z  0,2 м : М_кр.z=m_А=600 Нм.

При 0,2 м  Z  0,5 м : М_кр.z=m_А+m_В=600+700=1300 Нм.

При 0,5 м  Z  0,9 м : М_кр.z=m_А+m_В-m_С=600+700–2100=-800 Нм.

Проверим последнее значение М_кр.z ходом справа налево:

При 0  Z  0,4 м : М_кр.z=-m_Д=-800 Нм.

Эпюра М_кр.z показана на рис. 3.2,б.

3) Определим диаметр вала, обеспечивающий условие его прочности:

.

Для сплошного вала W_p= .

Отсюда 69 мм.

С целью приведения в соответствие размерностей числителя и знаменателя выражения для d значение момента М_кр.max подставляем в него в Нмм.

4) Определим диаметр вала, обеспечивающий условие жесткости

.

Для сплошного вала J_p= .

Отсюда 78 мм,

где = .

Окончательно принимаем d=80 мм.

5) Проверим прочность и жесткость рассматриваемого вала при d=80 мм.

12,7 МПа<[],

где мм³.

<[],

где мм⁴.

3.3 Вопросы для самоконтроля

1 Какой вид нагружения называют кручением?

2 В каких случаях вал будет работать на чистое кручение?

3 Как по передаваемой мощности определить соответствующий крутящий момент?

4 Какую величину называют полярным моментом инерции сечения? Какова его единица измерения?

5 Какую величину называют полярным моментом сопротивления сечения? Какова его единица измерения?

6 Что такое относительный угол закручивания?

7 Как распределяются касательные напряжения по поперечному сечению вала при кручении?

8 В каких точках вала возникают наибольшие касательные напряжения при кручении?

9 Как выглядит условие прочности вала при кручении?

10 Как выглядит условие жесткости вала при кручении?

11 Какие напряжения возникают в поперечных, продольных и наклонных сечениях вала при кручении?

12 В чем заключается закон парности касательных напряжений?