4 Плоский поперечный изгиб балок
4.1 Теоретические сведения
Под изгибом понимают такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях из шести возможных внутренних силовых факторов действуют только изгибающие моменты или изгибающие моменты и перерезывающие силы (см. рис. 1.1). Если изгибающие моменты в сечениях являются единственными факторами, изгиб называют чистым. В большинстве случаев в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающими моментами действуют и перерезывающие силы. В этом случае изгиб называют поперечным. Брус, работающий на изгиб, называют балкой. Следует иметь в виду, что при изгибе все внешние силы, которые включают и реакции опор, должны быть перпендикулярны оси балки, так как в противном случае к изгибу добавилось бы растяжение-сжатие.
Будем рассматривать прямолинейные балки постоянного поперечного сечения, имеющие продольную плоскость симметрии и нагруженные внешними силами и моментами, лежащими в этой плоскости. В данном случае продольная ось балки, находящаяся в силовой плоскости до изгиба, и в изогнутом состоянии будет находиться в этой же плоскости.
Такой вид изгиба называют плоским.
4.1.1 Определение реакций опор
Пусть силовой плоскостью, совпадающей с продольной плоскостью симметрии балки, будет плоскость YZ, где Z – продольная ось балки (рис. 4.1). При этом нейтральный слой балки (слой продольных волокон, которые при изгибе искривляются, не изменяя своей длины) – XZ.
B этом случае реакции опор будут иметь только составляющие, параллельные оси Y, которые могут быть найдены из уравнений равновесия:
(4.1)
.
Рисунок 4.1 – Пример балки, работающей на изгиб в плоскости YZ
Удобно реакции находить из первых двух уравнений (4.1), а третье использовать для проверки их правильности. При составлении уравнений моментов за положительное направление может быть принято любое, как по часовой стрелке, так и против. Направлением неизвестных реакций удобно предварительно задаться. Полученные при решении уравнений знаки укажут их истинные направления. Плюс будет говорить о том, что направление выбрано верно, минус - о том, что истинное направление реакции противоположно выбранному.
4.1.2 Построение эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов
В рассматриваемом случае внутренними перерезывающими силами и изгибающими моментами будут перерезывающие силы, параллельные оси Y - Qy и изгибающие моменты вокруг оси X – Мuх.
Прежде чем приступить к построению эпюр, необходимо вычертить в масштабе схему балки со всеми действующими на нее силами и моментами (включая реакции опор), отразив их верные направления.
Перерезывающая сила в поперечном сечении рассматриваемой части балки равна сумме проекций на него всех внешних сил, действующих на отброшенную часть.
Изгибающий момент в поперечном сечении рассматриваемой части балки равен сумме моментов относительно его центра тяжести всех внешних сил и пар сил, действующих на отброшенную часть.
Знаки Qy и Мuх определяются не их непосредственным направлением, а направлением деформаций, которые они вызывают. При этом для каждого сечения знаки Qy и Мuх получаются одинаковыми, независимо от того, какая часть балки рассматривается, а какая отбрасывается. На рис. 4.2 изображены возможные варианты сдвига и изгиба балки в каком-то сечении n–n и показаны принимаемые правила знаков.
Рисунок 4.2 - К правилам знаков внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов
Согласно принятому правилу знаков внешняя сила дает положительную составляющую перерезывающей силы в рассматриваемом поперечном сечении, если она относительно этого сечения создает момент, направленный по часовой стрелке, и отрицательную, если момент силы относительно сечения направлен против часовой стрелки.
Эпюра внутренних изгибающих моментов согласно принятому правилу знаков строится на сжатых волокнах, то есть Мuх в рассматриваемом поперечном сечении откладывается с той стороны балки, где при ее изгибе в этом сечении указанным моментом находятся сжатые волокна.
При этом для горизонтально расположенной балки внешняя сила или пара сил дает положительную составляющую изгибающего момента в рассматриваемом поперечном сечении, если она в этом сечении изгибает балку выпуклостью вниз, т.е. так, что сжатые волокна находятся в верхней части балки, а растянутые - в нижней, и отрицательную, если сила или пара сил в рассматриваемом сечении изгибает балку выпуклостью вверх.
При построении эпюр Qy и Мuх удобно разделить балку на два участка и для левого участка строить эпюры ходом слева направо, отбрасывая левые и рассматривая правые части балки, а для правого - ходом справа налево, отбрасывая правые и рассматривая левые ее части. При этом значения Qy и Мuх на стыке обоих участков должны быть одинаковыми или отличаться на величину действующих в сечении стыка внешней силы или внешнего момента (если они имеют место).