2.6. Процесс течения

Процесс течения является основным рабочим процессом в паро­вой турбине, в которой пар под влиянием разности давлений с большой скоростью вытекает из сопел, попадает на лопатки рабочего колеса и отдает ему свою кинетическую энергию.

Расчет процесса течения газа (либо жидкости) заключается в определении скорости течения и двух каких-либо термодинамиче­ских свойств движущегося газа как функции пространственных координат. Другие характеристики движения могут быть вычис­лены по известным значениям этих трёх величин.

Ограничившись случаем, когда газ не совершает техническую работу (и к нему не подводится работа извне), запишем основное уравнение термодинамики для стационарного потока (2.13) в виде

(2.14)

откуда следует

(2.15)

Из уравнения (2.15) видно, что приращение кинетической энергии газа происхо­дит за счет уменьшения его энтальпии и подвода теплоты.

При непрерывном течении каждый элемент потока находится термодинамическом равновесии и имеет определенные значения параметров состояния, непрерывно изменяющиеся во времени и в пространстве. Таким образом, элемент потока при движении со­вершает термодинамический процесс, который аналогичен стати­ческому процессу. Однако в статическом процессе параметры рабочего тела из­меняются одновременно во всех его частях, а при течении процесс происходит последовательно во времени с каждым элементом. Оба процесса могут быть описаны одним и тем же уравнением, вид которого определяется только внешними воздействиями, оказы­ваемыми на поток — подводом теплоты и перепадом давлений в канале.

Для наблюдателя, перемещающегося вместе с потоком, основ­ное уравнение термодинамики записывается в виде (2.3):

.

На основании этого уравнения и (2.15) получим

(2.16)

то есть изменение кинетической энергии потока равно техниче­ской работе статического процесса, уравнение которого совпадает с уравнением процесса, совершаемого элементом потока. Если известно это уравнение в координатах р,v, можно рассчитать изменение кинетической энергии по формуле (2.16). Определив затем по параметрам начального и конечного состояний значения энтальпии h₁ и h₂, можно вычислить количество теплоты, подве­денной к потоку, по уравнению (2.14).

Уравнения (2.13)–(2.15) справедливы как при наличии, так и при отсутствии в потоке трения, обусловленного силами вязкости, поскольку закон сохранения энергии, на основании которого полу­чено уравнение (2.13), справедлив для любых процессов. Для ря­да технически важных задач представляет интерес течение без трения и теплообмена (обратимое или идеальное адиабатное те­чение). Такой процесс является изоэнтропным, и для него спра­ведливо равенство

(2.17)

Из (2.17) следует, что при обратимом адиабатном течении скорость потока на выходе из канала равна

(2.18)

При истечении газа из сосуда большого объёма начальное значение скорости невелико и им можно пренебречь. В этом случае

(2.19)

где размерность w – м/с, h – Дж/кг.

Если значения h выразить в кДж/кг, формула (2.19) принимает вид

(2.20)

Значение разности энтальпий h₁ – h₂ для любого реального газа, в том числе и для водяного пара, можно легко определить по диаграмме h,s, проведя линию s = const из начальной точки до пересечения с изобарой, соответствующей конечному давлению р₂ (рис. 2.6).

Для идеального газа можно подставить в формулу (2.19) вместо разности энтальпий известное выражение для технической работы изоэнтропного процесса. Тогда формула для скорости обратимого адиабатного течения идеального газа (при условии w₁=0) примет вид

(2.21)

Рис. 2.6. Процесс течения реального газа на диаграмме h,s.

На практике имеет место реальное (необратимое) адиабатное течение при наличии трения. Если сопоставить между собой ре­альный и идеальный процессы течения при одинаковых условиях, то сум­ма, фигурирующая в правой части уравнения (2.14), будет одной и той же в обоих случаях, но значения слагаемых будут разными. При трении часть кинетической энергии потока превращается в теплоту, которая воспринимается им и вызывает рост энтальпии, поэтому конечная скорость окажется меньше, а конечное значение энтальпии больше, чем в идеальном случае.

Реальная скорость потока w_2Д определяется через скорость иде­ального течения по формуле

,

(2.22)

где φ – скоростной коэффициент.

Значение φ, определяемое по опытным данным, меньше 1 и зависит от рода текущего вещества, состояния поверхности канала и других факторов. Для сопл паровых турбин, имеющих достаточно гладкую поверхность, значение φ находится в пределах 0,95–0,98.

Поскольку трение приводит к изменению энтальпии и других параметров потока, можно условно изображать необрати­мое адиабатное течение на термодинамических диаграммах, полагая, что теплота трения подводится извне. Этот процесс, сопровождающийся ростом энтропии, на энтропийных диаграммах расположен правее линии s = const, проведенной из начальной точки. На основании формул (2.19) и (2.22) получим

(2.23)

где h_2Д>h₂ –– действительное значение энтальпии потока при заданном ко­нечном давлении р₂.

Из уравнения (2.23) вытекает формула для определения величины h_2Д

(2.24)

где ξ = 1–φ² — коэффициент потери энергии.

Следовательно, если на диаграмме h,s от начальной точки изоэнтропы отложить вниз отрезок φ²(h₁—h₂) либо от конечной точки отложить вверх отрезок ξ(h₁—h₂) и из его конца провести горизонтальную прямую до пересечения с изобарой р₂, то точка пересечения 2' будет соответствовать реальному конечному со­стоянию потока вещества. Таким путём можно определить ряд промежу­точных состояний при различных давлениях и построить кривую реального процесса (изображенную штриховой линией на рис. 2.6).

Определив по диаграмме h,s значения температуры и энтро­пии в ряде промежуточных точек реального процесса, можно построить его на диаграмме Т,s (рис.2.7). На этой диаграмме изменение энталь­пии изображается площадью под изобарой. Так как при умерен­ных давлениях изобары в области жидкости практически совпада­ют с пограничной кривой, приращение кинетической энергии пото­ка при идеальном адиабатном течении, равное h₁–h₂, изобразится площадью 1–2–3–4, ограниченной двумя крайними изобарами, изоэнтропой и пограничной кривой жидкости. Площадь а–2–2'–b изобра­жает разность энтальпий в конце реального и идеального процес­сов h_2Д–h₂, соответствующую потере кинетической энергии вслед­ствие трения. Площадь а–1–2'–b под кривой реального процесса соответствует теплоте, эквивалентной работе тре- ния. Из диаграммы Т,s видно, что потеря кинетической энергии меньше

работы трения. Это объясняется тем, что работа трения превращается в теплоту, которая воспринимается потоком и на последующих этапах про­цесса восстанавливает часть потерянной кинетической энергии.

Если бы процесс 1–2' протекал обратимо с подводом теплоты от внешнего источника, то в соответствии с уравнением (2.15) при­ращение кинетической энергии потока изображалось бы площадью 1–2'–2–3–4, то есть было бы больше, чем при реальном и даже при идеальном адиабатном течении. Следовательно, внутренний под­вод к потоку теплоты трения не эквивалентен подводу того же ко­личества теплоты извне.

Для определения профиля канала, по которому движется поток, необходимо рассмотреть вопрос о форме струи газа при его течении. Из уравнения (2.1) получим уравнение для приращения кинетической энергии потока в дифференциальной форме

(2.25)

Для изоэнтропного процесса уравнение (2.25) можно записать в виде

(2.26)

Рис. 2.7. Процесс действительного течения пара на диаграмме Т,s.

Производная (∂p/∂v)_s связана со скоростью распространения зву­ка а соотношением

(2.27)

Учитывая (2.27), представим уравнение (2.26) в виде

(2.28)

Для стационарного потока справедливо уравнение сплошности

(2.29)

где т — массовый расход,

f –– площадь поперечного сечения.

После логарифмирования и дифференцирования уравнения сплошности получим

(2.30)

Выразив из (2.28) величину dv/v и подставив ее в (2.30), получим окончательно

(2.31)

где M = w/a –– так называемое число Маха (отношение скорости течения потока к местной скорости звука).

Уравнение (2.31) связывает изменение площади поперечного сечения струи при идеальном адиабатном течении без совершения технической работы с изменением скорости потока и с числом Маха. Анализируя это уравнение, рассмотрим сначала случай, когда скорость потока надо увеличить (dw>0). Число Маха при этом условии возрастает, так как при изоэнтропном расширении давление и температура газа понижаются и скорость звука уменьшается. Тогда из (2.31) следует, что при M<1 df<0, а при M>1 df>0. Следо­вательно, при ускоренном движении потока, имеющего дозвуковую скорость и достигающего при движении сверхзвуковой, струя газа вначале сужается, а затем расширяется. В минимальном (переходном) сечении при df =0 M=1, то есть скорость течения потока равна скорости распространения звука в нём. Профиль канала, по которому движется газ, во избежание по­терь кинетической энергии должен соответствовать рассмотренной форме струи.

Скорость звука в жидкостях существенно больше, чем в газах, поэтому течение жидкостей всегда происходит при дозвуковых скоростях (М<1), и для ускорения движения жидкости сечение канала должно уменьшаться (df<0).

В так называемом струйном компрессоре или эжекторе наряду с ускоренным течением имеет место замедленное (диффузорное) течение, при котором кинетическая энергия струи переходит в по­тенциальную и давление потока в направлении движения возра­стает. При замедленном течении dw<0 и из уравнения (2.31) видно, что при М>1 df<0, а при M<1 df>0. Таким образом, если течение потока начинается при сверхзвуковых скоростях и заканчи­вается при дозвуковых, канал должен иметь сначала сужающуюся часть, а затем расши­ряющуюся.

При адиабатном течении с трением описанная форма струи со­храняется, но в минимальном сечении скорость потока несколько отлича­ется от местной скорости звука. При ускоренном движении потока сече­ние, в котором М=1, находится в расширяющейся части струи.

Скорость течения, совпадающая с местной скоростью звука, называется критической, а давление в соответствующем сечении — критическим давлением истечения р_к. Отношение величины р_к к давлению p₁ заторможенного потока в начальном сечении, в котором можно пренебречь скоростью w₁, называется критическим отноше­нием давлений β_к. Если отношение давления среды р_а, в которую происходит истечение, к давлению p₁ больше значения β_к, канал должен иметь только сужающуюся часть, в противном случае он имеет также расширяющуюся часть. Сопло, состоящее из сужаю­щейся и расширяющейся частей, впервые применил для получения сверхзвуковых скоростей течения газа шведский инженер Лаваль в конце XIX века.

Для изоэнтропного течения идеального газа критическое отно­шение давлений и критическую скорость течения можно определить аналитически. Сочетая уравнение для скорости течения идеального газа (2.21) с уравнением сплошности (2.29), получим следующее выражение для расчета площади поперечного сечения струи, соответствующего давлению р

(2.32)

Подставив в (2.32) выражение , получим

(2.33)

При заданных величинах p₁ и v₁ площадь поперечного сечения канала зависит только от отношения давлений p/p₁= β, фигурирующего под корнем. Выражение в квадратных скобках обозначим через ψ

(2.34)

Из выражения для ψ видно, что оно дважды обращается в нуль: при β=0 и при β=1. Следовательно, функция ψ(β) имеет экстремум в интервале изменения β от 0 до 1. Взяв производную dψ/dβ и приравняв её нулю, найдём то отношение давлений, при котором ψ имеет максимум, а значит, f имеет минимум. Это отношение давлений называется критическим и оказывается равным

(2.35)

Оно зависит от числа атомов в молекуле газа и равно 0,528 для двухатомного газа и 0,546 для трехатомного (при значении показателя адиабаты k = 1,3). Для водяного пара как реального газа величина β_к явля­ется переменной и зависит от начальных параметров потока, но в области перегретого пара при умеренных давлениях с приемле­мой точностью можно принимать значение β_к = 0,546, а для насы­щенного пара β_к = 0,577. При оценочных расчетах принимают β_к ≈ 0,5.

Подставив в формулу (2.21) выражение для β_к, определим критическую скорость течения идеального газа

(2.36)

Профилирование сопла заключается в определении зависимо­сти площади поперечного сечения от длины сопла. В простейшем случае расширяющаяся часть сопла имеет коническую форму с углом раствора γ не более 12º (во из­бежание отрыва потока от стенок). Тогда достаточно определить диаметры минимального и выходного сечений d_min и d₂, после чего можно рассчитать длину расширяющейся части l

(2.37)

Сужающуюся часть сопла чаще всего не рассчитывают, а профилируют так, чтобы сглаженный входной участок плавно сопрягался с минимальным сечением.

Площадь поперечного сечения определяют на основании урав­нения сплошности

(2.29a)

Значение скорости w вычисляют по формуле (2.20) для идеального течения либо по (2.22) для течения с трением. Значения удельного объёма v во всех сечениях находят по диаграмме h,s либо по таблицам.

При известном значении р₂= р_а определение скорости и удель­ного объёма пара на выходе из сопла и расчет выходного сечения по уравнению (2.29а) не вызывает затруднений. Однако для водяного пара расчет давления p_к в минимальном сечении с учетом приведенных выше значений β_к носит приближенный ха­рактер, особенно при наличии трения. Поэтому для точного рас­чета сопла необходимо построить процесс течения на диаграмме h,s, определить значения w и v при промежуточных давлениях и рассчитать соответствующие значения f. Построив график зависимости f от р, можно найти минимальное сечение f_min , а затем вычислить значения d_min , d₂ и длину сопла. Для повышения точности опре­деления f_min целесообразно при нахождении величин w и v ис­пользовать таблицы свойств и принимать меньший шаг по дав­лению в окрестности значения р_{к ,} вычисленного по формуле p_к = p₁β_к .

Если внешние условия изменяются по сравнению с теми, для которых рассчитано сопло, то некоторые характеристики процесса течения могут изменяться в определённых пределах. В качестве примера рассмотрим случай, когда имеется сужающе­еся сопло и уменьшается давление среды р_а, в которую происходит истечение, таким образом, что получается серия установившихся режимов течения при различных значениях р_а. Пока отношение p_a/p₁ превышает значение β_к, ско­рость на выходе возрастает и соответственно растет массовый расход пара т. При p_a/p₁ = β_к в выходном сечении установятся кри­тическое давление истечения и критическая скорость и значение т станет максимальным. Дальнейшее уменьшение давления среды не изменит давление на выходе из сопла, скорость истечения и, следовательно, расход пара. Расширение пара за соплом от давления р₂= р_к до давления р_а будет происходить неупорядочен­но и сопровождаться вихреобразованием, при котором кинетиче­ская энергия потока превращается в тепловую.

В случае истечения из отверстия в стенке резервуара либо из трубы постоянного сечения и при изменении давления среды скорость потока на выходе изменяет­ся таким же образом, как при истечении из сужающегося сопла. Однако тогда при любых значениях р_а возникают завих­рения потока перед входом в трубу и при выходе из неё, вызы­вающие потери энергии. Более подробно вопрос о течении газа при режиме, отличающемся от расчетного, рассмотрен в учебной ли­тературе.

Расчет процесса течения обычно выполняют, используя диаграм­му h,s. Здесь могут встретиться те же три частных случая, что и при расчете изоэнтропного процесса расширения (§ 2.4). Процесс идеального адиабатного течения, как изоэнтропный, изображается на этой диаграмме линией s = сonst, а для построения реального про­цесса течения при наличии трения надо знать скоростной коэффи­циент φ и найти ряд промежуточных состояний. Заметим, что иногда идеальный процесс, начавшийся в однофазной области, может заканчиваться в двухфазной, а совершающийся в том же интервале давлений реальный процесс полностью расположен в однофазной области, так как конечные значения энтальпии и эн­тропии во втором случае больше, чем в первом (процессы 1–2 и и 1–2' на рис. 2.7). Определив по диаграмме значения разности энтальпий h₁-h и удельного объёма для конечного и ряда проме­жуточных давлений, рассчитываем соответствующие значения w и f и находим размеры сопла по методике, изложенной выше.

Процесс течения, как и рассмотренные ранее процессы, может быть рассчитан с помощью таблиц термодинамических свойств, но этот способ является более трудоёмким, чем расчет по диаграмме h,s. Целесообразно основные расчеты выполнять по диаграмме, привлекая дополнительно таблицы для уточнения значений удель­ного объёма.